高等数学六章空间解析几何及其应用.pptxVIP

空间解析几何及其应用 第六章 第六章 知识目标： 理解空间直角坐标系概念，掌握空间两点间距离公式 理解向量概念，掌握向量的线性运算及其坐标表示式 理解向量的数量积与向量积的概念，掌握向量平行和垂直的条件 理解曲面方程的概念，掌握几种常见的曲面方程 理解平面与直线的各种方程，会判断平面与平面、直线与直线以及直线与平面的位置关系 了解二次曲面的标准方程及其图形 了解空间曲线及其方程，空间曲线在坐标面内的投影 能力目标： 具有三维空间的意识 掌握数形结合的思想方法 能运用MATLAB进行向量运算和曲面绘制 能运用MATLAB研究数据可视化 第一节 空间直角坐标系与向量代数 一、空间直角坐标系和向量的概念 空间直角坐标系 右手螺旋法则 第一节 空间直角坐标系与向量代数 空间点与有序实数组之间的一一对应 空间的点分为三类： (1)卦限内的点：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限； (2)坐标面上的点：xoy、yoz、xoz坐标面； (3)坐标轴上的点： x、y、z轴 第一节 空间直角坐标系与向量代数 既有大小又有方向的量叫做向量（矢量）， 向量常用有向线段表示。 向量的长度叫做向量的模，记 ； 模为1的向量叫做单位向量。 模为0的向量叫做零向量，记 作 ，其方向任意。 向量的概念 第一节 空间直角坐标系与向量代数 模相等而且方向相同，则称向量相等。 例如 。 模相等而且方向相反，则 互称负向量。 例如 。 根据上述规定，可知经过平行移动后能完全重合的向量是相等的向量，通常称这样的向量为自由向量。 第一节 空间直角坐标系与向量代数 二、向量的线性运算及其坐标表示式 向量的线性运算 第一节 空间直角坐标系与向量代数 类似地可以定义两个向量的加法 平行四边形法则 三角形法则 向量的加法满足 交换律： 结合律： 第一节 空间直角坐标系与向量代数 向量的减法，即加法的逆运算。 向量的数乘 实数 与向量 的乘积 为一个向量，其中 ，且当 时， 与 同向；当 时， 与 反向；当 时， 。 数乘运算满足交换律和结合律。 显然有： 第一节 空间直角坐标系与向量代数 基本单位向量 任一向量 平移为向径 ，由向量的线性运算得： 向量的坐标表示 第一节 空间直角坐标系与向量代数 利用向量的坐标，可以将两个向量的和、差运算及数与向量的乘积运算化为代数运算： 设 ， ，则 所以， 和 的坐标分别为 ， 第一节 空间直角坐标系与向量代数 向量 与向量 平行的充要条件是其对应坐标成正比，即 若某个分母为零时，我们约定相应的分子也为零。 第一节 空间直角坐标系与向量代数 例 已知向量 ， ，求 ， ， 。 解： 例 设 和 为空间两点，求向量 的坐标表示，并求 的模。 解： ， ， 则 第一节 空间直角坐标系与向量代数 三、向量的数量积和向量积 向量的数量积 【案例6.2 恒力做功问题】我们知道在物理学中，恒力 作用于一物体，这个力所做功 的大小，由力的大小、物体受力后产生的位移 以及 与 的夹角 的余弦来决定，即 第一节 空间直角坐标系与向量代数 定义 设 为空间两个向量，则数 叫做向量 与 的数量积，(也称点积或内积)，记作 ，读作“ 点乘 ”。即 其中 表示向量 与 的夹角，并且规定 第一节 空间直角坐标系与向量代数 两个非零向量 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即 交换律： 分配律： 与数乘结合律： 第一节 空间直角坐标系与向量代数 向量数量积的坐标表示 设向量 ， ，即 则 第一节 空间直角坐标系与向量代数 例 在电场力 的作用下，一点电荷从点 移动到点 ，求电场力所做的功。 解：