高二数学联赛讲三角最值.docVIP

高二数学联赛讲座---三角函数及其最值 一、知识回顾 本节公式中，s=1/2(a+b+c),r为内切圆半径，R为外接圆半径，Δ为三角形面积. （一).三角形中的各种关系 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C． 1．角与角关系：A+B+C = π， 2．边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b， a－b c，b－c a，c－a b． 3．边与角关系： 1）正弦定理 2）余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA． 它们的变形形式有：a = 2R sinA，，． 3）射影定理： a＝b·cosC＋c·cosB， b＝a·cosC＋c·cosA， c＝a·cosB＋c·cosA． 面积公式： 三角形内角定理的变形 由A＋B＋C＝π，知A＝π－（B＋C）可得出： sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）． 而．有：，． （二）映射和函数的概念，函数的单调性 二．例题讲解 1．已知函数y＝sin2x＋acos2x的图像关于直线对称，则函数y＝asin2x-cos2x的图象关于下列各点中对称的是（　） A．（，0）　　　　 B．（，0）　　C．（，0）　　　　 D．（，0） 分析 sin2x＋acos2x 这就是说将函数y＝sin2x＋acos2x的图像向右平移个单位就可以得到函数 y＝asin2x-cos2x的图象，再由已知得函数y＝asin2x-cos2x的图象关于直线对称，即关于直线对称，记f (x)= asin2x-cos2x,则有 ，得，即，所以方程 的解就是函数y＝asin2x-cos2x的图象的对称点的横坐标， 由，容易检验，只有选项B适合. 评注 正弦曲线的对称轴一定通过曲线的最高点或最低点，其对称点就是函数的零点。 2. 函数y =的图像是（　） 分析 该函数的定义域为,淘汰选项C和D; 又由其图象知当x =0时，y=0，所以选A. 评注 检验法是解选择题，填空题常用的极为有效地方法. 练习 求周长为l的直角三角形内切圆半径的最大值． 3． 已知定义在实数R上的函数不恒为零，同时满足且当x0时，，那么当时，一定有（ ）. A、 B、 C、 D、 分析 令x = y =0,得f (0) = f(0)f(0), 又，所以f (0) =1; 再令y = - x , 得 f (0) = f (x)f(-x) =1, 又对一切恒成立，设x 0, 则 – x0, 由已知得 f (- x) 1, 所以 0 ,选 D 评注 对于抽象函数，通常采用赋值法，求出f (0), f (1)等 4． 设实数m、n、x、y满足，，其中a、b为正的常数，则的最大值是（　） A．　　　B．　　　C． 　　　 D． 分析 作换元, , 则 ，选B 评注 也可以直接利用柯西不等式 ，该不等式用平面向量的数量积易证.设，由立即得证. 练习 已知实数 x, y满足，试求的取值范围. 解 作换元 x = r cosΦ, y = rsinΦ,r0,则 得 ，又，所以的取值范围是[2，6] 5． 函数的图象如图所示，其定义域为 [-4，4]，那么不等式的解集为 。 分析 函数y = sinx 在区间 或上取正值，在区间 或上取负值， 在数轴上分别标出函数f (x), sinx在区间[-4，4]上的零点， 容易看出在上述六个区间上的取值符号，并且注意f(x)的零点属于该不等式的解集，但要去掉sinx的零点，于是的解集为 . 6．非等边三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边，求的取值范围. 解：由正弦定理 得 ∵BC是最长边，且三角形为非等边三角形 ∴ , 又 , ∴ ∴ 故 的取值范围为（已用） 7． 如图，已知在等边△ABC中，AB＝3，O为中心，过O的直线交AB于M，AC于N，设∠AOM＝(60°≤≤120°)，当分别为何值时，取得最大值和最小值． 解：由题意可知：∠OAM＝30°， 则∠AMO＝180°－（θ＋30°） 由正弦定理得：＝， 又OA= ∴ 同理： ∴ ∵60°≤θ≤120°，∴≤2sinθ≤2 故当θ＝60°或120°时，的最小值为； 当θ＝90°时，的最大值为2．（已用） 8．在锐角中，角A、B、C成等差数列， （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）试比较与的大小，并说明理由。 分析 （Ⅰ）证明