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Duffing方程在两类共振条件下周期解分支与混沌 　　摘 要 应用常规扰动方法与二阶平均方法，研究在两类共振条件Ω∶ ω∶ ω0=2∶ 3∶ 1和1∶ 1/2∶ 1下Duffing方程的周期解及其分支存在的充分条件.通过数值模拟不仅验证了理论分析的正确性，而且发现了新的复杂行为，如周期2分支和逆周期2分支到混沌，混沌突然收敛到周期1， 3轨，周期1轨的跳跃行为等. 　　关键词 Duffing方程；常规扰动方法；二阶平均方法；分支；混沌 　　中图分类号 O175 文献标识码 A 文章编号2013 　　Bifurcations of Periodic Orbits and Chaos in Duffing 　　Equation under Two Resonant Conditions 　　Cai Meixiang* 　　（Institute of Mathematics and Physics， Central South University of Forestry and Technology， Changsha 410004， China） 　　Abstract By applying the regular perturbation method and the secondorder averaging method， the sufficient conditions of the periodic solutions and the bifurcations in Duffing equation under the two resonant conditions Ω∶ ω∶ ω0=2∶ 3∶ 1 and 1∶ 1/2∶ 1 are investigated. The numerical simulations not only show the consistence with the theoretical analysis， but also find some new complex behaviors， including the periodic2 bifurcation and the inverse periodic2 bifurcation to chaos， the chaos suddenly converge to period1，3 orbits， the jumping behaviors of period 1 orbit. 　　Key words Duffing equation， regular perturbation method， secondorder averaging method， bifurcations， chaos 　　________________________________________ 　　Duffing方程作为一类经典的动力系统，可以用来描述物理与工程领域中的非线性振动行为.近年来，许多学者对具有1个周期外力的Duffing方程x? ?+δx?+f（x）=γcos ωt进行研究，发现了许多复杂的动态.如Xie等 [1]和Parlitz等 [2]应用Floquet方法和数值模拟方法，讨论了分支行为并发现了分支集的复杂结构；Yagasaki [34]应用二阶平均方法、高阶平均方法与Melnikov方法，研究其谐波解分支、m（m≥2）阶次谐波解分支、超谐波解分支和超次谐波解分支等；Li等 [5]和Huang等 [6]研究了在周期扰动和拟周期扰动的条件下，由同宿轨或异宿轨横截相交所产生的混沌的存在准则、拟周期吸引子、奇异的非混沌吸引子和各种各样的混沌吸引子等；Lai等[7]应用耦合Newtons方法和harmonic balancing 方法得到了高阶的精确解析解；Nayfeh等[8]和 Chacon等[9]研究了带一个外力的三势能井的Duffing系统，把Melnikov 等价阻尼作为系统的一个全局测度并给出了系统产生混沌的必要条件；Cai等[10]研究了具有1个周期外力和1个相差的Duffing方程x? ?+δx?+ω20x+βx3+αx5=fcos（ωt+θ）的周期解分支与混沌；Jing等[1113]研究了具有2个周期外力的Duffing方程的复杂动态.但是，对于如下具有1个周期外力且具有1个周期阻尼的Duffing方程，目前少有人研究. 　　x? ?+δ（1+ηcos Ωt）x?+γx+βx3+αx5=fcos ωt， 　　（1） 　　这里δ为阻尼或耗散系数，ηcos Ωt为周期阻尼扰动，γx+βx3+αx5 为非线性恢复力，fcos ωt为周期外力. 　　方程（1）的未扰动