高一数学必修四复习资料.docVIP

整理人：阿东 三角函数定理 诱导公式（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα （记法：奇变偶不变，符号看象限）。 平方关系：sin2α+cos2α=1 两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)= 倍角公式（常考）:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α= 【必考】辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α. asinα+bcosα=sin(α+β). 正弦定理：在任意△ABC中有，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。 例题 1．结合图象解题。 例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。（6） 2. 三角函数性质的应用 例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。 【解】 若，则cosx≤1且cosx-1，所以cos， 所以sin(cosx) ≤0,又0sinx≤1, 所以cos(sinx)0， 所以cos(sinx)sin(cosx). 若，则因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤， 所以0sinx-cosx， 所以cos(sinx)cos(-cosx)=sin(cosx). 综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)sin(cosx). 3．最小正周期的确定。 例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2π）, 所以若最小正周期为T0，则T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。 4．三角最值问题。 例5 已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令sinx=, 则有y= 因为，所以， 所以≤1， 所以当，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0， 当，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2. 例7 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。 【解】 因为sinA+sinB=2sincos, ① sinC+sin, ② 又因为，③ 由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin, 所以sinA+sinB+sinC≤3sin=, 当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=. 5．图象变换【常考】：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A, , 0). 由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。 例10已知f(x)=sin(x+)(0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。（π/2、2/3或2） 7．三角公式的应用。 例11 已知sin(α-β)=，sin(α+β)=- ，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。 【解】 因为α-β∈，所以cos(α-β)=- 又因为α+β∈，所以cos(α+β)= 所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=, cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)