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一、非圆曲线的节点计算 （一）等间距直线逼近法 最大逼近误差校验方法 续 （二）等弦长逼近法 续 （三）等误差直线逼近法 点b坐标值的求法 （四）圆弧逼近法 续 续 续 三、列表曲线的插值与拟合 三、列表曲线的插值与拟合续 三、列表曲线的插值与拟合续 三、列表曲线的插值与拟合续 §2—5自动编程简介 二、自动编程的一般处理过程 三、自动编程系统的发展 * §2—4编程中的数学处理 两个概念： ①基点：轮廓上相邻两元素间的交点或切点。如直线与直 线的交点、直线与圆弧的交点或切点等。 ②节点：两逼近线段的交点。 数控加工编程的数学处理，就是计算零件加工轨迹的 数据，即计算零件轮廓的基点和节点坐标，或刀具中 心轨迹的基点和节点坐标。 程变种数学处理的三个问题： ①基点计算； ②节点计算--曲线逼近 ③曲线拟合 0、直线与圆弧平面轮廓基点的计算 如图所示该零件由四条直线和一条圆弧所组成。 任务：用若干段直线段或若干段圆弧段逼近理论曲线，找出直线或圆弧与理论曲线的交点。 总体原则是： ①保成精度； ②计算简单； ③程序段少。 逼近方法有四： ①等间距直线逼近法； ②等弦长直线逼近法； ③等误差直线逼近法； ④圆弧逼近法 已知曲线方程 将X坐标按等间距ΔX分开， 得出各个节点的X坐标值Xi ， 代如上式，得出各个节点的Y 坐标值Yi ，Xi，Yi就是各个 节点的坐标。以次来编制直 线插补程序。 思路： 现在的问题是 ： ΔX取多大合适？ ΔX取决于曲线的曲率和允许误差δ允 一般是先凭经验初取ΔX，试算并校验。 逼近精度要求： 各段的逼近误差都必须小于等于允许误差ΔX 逼近直线A1A2的方程Ax+By+C=0 由A1A2两点坐标列出方程： B1 B2 距直线A1A2等距离的直线B1B2的方成为 与 联立求解。 如果无解，则A1A2与曲线没有交点，表明插补误差小于允许误差； 如果只有一个解，则与曲线相切，表明插补误差等于允许误差； 如果有两个或两个以上的解，则与曲线相割，表明插补误差大于允许误差；这是应缩小ΔX，重新计算节点和验算逼近误差。直到最大逼近误差小于或等于允许误差为止。 不必每段曲线都验算，只需验算逼近误差最大的段，何处逼近误差大，从图上可直观看出来 这种方法虽然简单，但因ΔX为定值，当曲线变化较大时，程序段较多。 这种方法，所有逼近线段的长度均相等，这样，只要使曲线曲率最大处不超差，则其余各段均不会超差，所以，首先找出曲线上的最小曲率半径ρmin，何处曲率半径最小， 可用直观法判断，也可以用数学法判断。 已知零件轮廓曲线的方程为 则曲线的曲率半径为 取 则 （1） （2） 由（2）式求出X，代入（1）式，便可得到最小去路半径 2.确定允许的步长， 3.以曲线起点a为圆心，以步长l 为半径 画弧，交曲线与b点，解出b点坐标； 4.顺序以b、c为圆心，重复上步，即可求出其余各节点的坐标值； 等步长法对于曲率变化较大的曲线，求得的节点数仍然过多，它适用于曲率变化不大的曲线。 这种方法使每个直线段的逼近误差都相等，且 所以，它比前两种方法都合理，程序段少，占内存少，但计算复杂。大型、复杂的零件轮廓宜采用这种方法。 这种方法步骤如下： 1。以起点a为圆心，以允许误差为半径画允差圆； 2。作允差圆与轮廓曲线的公切线T； 3。过a作公切线T的平行线，交轮廓曲线与b点，求出b点的坐标； 4。再以b为新的起点，重复上述步骤，便可依次求出各个节点的坐标。 以a点为圆心的允差圆方程为 （1） 公切线T的方程为 （2） K为公切线的斜率，其值为 解以下联立方程 曲线方程 允差圆方程 便可求的，P、T两个切点的坐标值 再由斜率方程（4）求出k值。 则过a点且平行于T的直线方程为： （3） （4） 求方程（4）与轮廓曲线的交点就是节点b。 对于具备圆弧插补功能苏孔机床，可以用圆弧段逼近工件的轮廓曲线。此时，需求出每段圆弧的起点、终点、圆心坐标以及圆弧半径。 用圆弧段逼近曲线的方法有三种： 曲率圆法、相切圆法、三点圆法 图示为曲率圆法。其步骤如下 1。求轮廓曲线在起点（xa，ya）处的曲率中心坐标（ξn，ηn）和曲率半径ρn 2。以（ξn，ηn）为圆心，ρn±δ允，为半径作圆，方程为： 将此方程与曲线方程y = f（x）联立，即可求其交点（xn+1，yn+1），即为节点。 3。以（xn，yn）为起点， （xn+1，yn+1），为终点，半径ρn圆弧段就是所求的逼近圆弧，由以下两个方程 联立求解，可以求得圆弧段的圆心坐标为（ξm，ηm） 4。重复上述步骤，便可依次求出其它各个逼近圆。 所谓列表曲线，是指已给出曲线上的某些坐标点，但没有给出方程（数学表达式），这时就要先求出这些坐标点的拟合曲线，然后再去逼近，即先拟合，后逼近。 数控编程中，常用样条曲线拟合法。 最