《圆的标准方程》课例.docVIP

《圆的标准方程》课例（第一课时） 林永强 蔡恒录 伏景祥 一、 设计背景? 圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.《圆的方程》安排在高中数学第二册（上）第七章第六节. 是前面学习了直线方程的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。(轨迹)叫做圆，定点就是圆心，定长就是半径． 师：在平面直角坐标系中，确定一个圆需要哪些条件？ 生：一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就被确定下来了。 （使学生明确确定一个圆需要的条件是圆心与半径，为求圆的方程做好铺垫。） 师：当我们建立了平面直角坐标系之后，圆心有了坐标，这时要建立圆的方程不妨先解决这个问题：如图，若某圆圆心是A(a,b)，半径为r，则圆上的点的坐标应满足怎样的关系式？ 设M(x,y)是圆上任意一点，则︱AM︱=r， 由两点间的距离公式得， 两边平方得 ① （圆的标准方程的推导具有一般性，引导学生经历这一过程，可以提高学生利用代数知识解决几何问题的能力。） 师：这条关系式是圆的方程吗？应怎样说明呢？ 师：利用上一节课的做法，我们可以从两方面来说明。首先从推导过程我们知道若任意点M在圆上，则点M的坐标适合方程（1）；反之，若点M(x,y)适合方程，开方得，这意味着点M与圆心A的距离为r，即点M在圆A上。所以我们说这条关系式为圆的方程，我们将它称为圆的标准方程。 （培养学生思维的严谨性，巩固直线方程的概念，渗透曲线方程的概念。） 2、延伸 (1) 圆的标准方程 圆心为C(a,b)，半径为r，这呈现了圆的几何特征。 师：从圆的标准方程很快可以得到圆心和半径，反之，有了圆心和半径，圆方程就可以写出，换句话，知道了a，b，r就可以写出圆的标准方程。 （阐明圆的几何特征，为后续练习的顺利解答做好了铺垫。指出要确定圆的方程就是要确定a，b，r，为讲待定系数法打好基础。） (2)如果圆心在坐标原点，则a=b=0，圆的方程为． 三、应用举例，巩固提高 1、直接应用 练习1写出下列方程表示的圆的圆心和半径． (1)； (2) (3) ⑷()； （由学生口答，老师及时点拨和纠错，帮助学生熟悉圆的标准方程的特点。在练习中涉及到许多学生易错的环节，可以培养学生思维的严密性。） 练习2．(1)圆心在原点，半径是的圆的方程是____________. (2)圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是（ ） （A）x2+y2=25 （B）x2+y2=5 （C）(x－3)2+(y－4)2=25 （D）(x－3)2 +(y－4)2=5 （练习2涉及了简单的求圆方程，其中（2）为接下来的探究点与圆位置关系做好了铺垫，同时为练习4 的解决提供了方向。让学生思考后回答，对于（2）让学生说明选择的办法。） 2、探究点与圆的位置关系 练习3写出以点A(2,)为圆心，5为半径的圆的标准方程，并判断点M(5,)，N(2,)，P(10,)在不在圆上？ （由学生自己思考感知，然后提问：怎么判断点在不在圆上） 师：我们在初中已学习过点与圆的位置关系，大家还记得有几种吗？ 生：有三种。 师：那么这里的点 N、P到底在圆内还是圆外呢？ （让学生思考后提问，并帮助学生提炼总结判断点与圆位置关系的方法。） 提炼总结： 师：点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外。我们可以从几何的角度去处理，即看点到圆心的距离d与圆半径r的关系。dr时点在圆内；d=r时点在圆上；dr时点在圆外． 同时还可以通过方程去进行比较： 点在圆上； 点在圆内； 点在圆外． 即讨论点与圆的位置关系可以从代数特征（点的坐标是否满足圆的方程）或几何特征（点与圆心的距离与半径的关系）去考虑。 （通过具体例子让学生层层递进地探讨点与圆的位置关系，便于学生接受。在总结的时候指出讨论点与圆的位置关系可以从代数和几何两方面去考虑，贴合解析几何的特点，并为后续问题的解决提供了方向。） 练习4求经过点P(5,1)，圆心在点C(8,)的圆的方程。 （由学生思考后让学生板书，教师要引导学生从两个角度去思考。通过这个练习让学生初步感知如何从代数和几何两个角度去求圆的方程。） 3.灵活应用,提升能力 例1、已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，－2），且圆心在直线上，求此圆的标准方程． （学生之间交流讨论，确立解题思路。教师巡视指导，适当启发，可以引导学生从圆的几何性质出发寻找解题途径，也可以引导学生从构成圆的要素入手应用方程的思想解决．） 教师提问学生，然后点评学生的思路，确立答题策略一是从标准方程的特征分析，圆的方程由a，b，r三个量确定，因此要确定圆的方程从方程的角度只需确定a，b，r三个