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Newton法变形 几个方法 } 迭代法的计算步骤 （1）确定方程 f(x)=0 的一个等价形式 x=g(x), 要求在某个含根区间[a,b]内满足|g′(x)| ≤ q 1 。 (2)构造迭代公式 xk+1=g(xk)，选取初始近似根x0 ,进行迭代计算。 (3) 当|xk+1 – xk |ε（ε是预定的精度）时停止计算，取x*≈xk +1 。 } 迭代法的计算框图 } 例 求方程 x=e –x在x=0.5附近的一个根，按5位小数计算，结果的精度要求为ε=10 –3. 解 方程等价于 f(x)=x – e –x=0. 由于f(0.5)0, f(0.6)0, 故x*∈(0.5, 0.6), 令g(x)=e –x, 在(0.5, 0.6)内, g(x) 的一阶导数连续，且有 所以用迭代公式 xk+1=e –xk 进行计算是收敛的。 根据定理2.1的推论 } 迭代结果: 0 1 2 3 4 5 0. 5 0. 606 53 0. 545 24 0. 579 70 0. 560 07 0. 571 17 ? 0. 106 53 －0. 061 29 0. 034 46 －0. 019 63 0. 011 10 6 7 8 9 10 0. 564 86 0. 568 44 0. 566 41 0. 567 56 0. 566 91 －0. 006 31 0. 003 58 －0. 002 03 0. 001 15 －0. 000 65 k xk xk – xk-1 xk – xk-1 k xk |x10 - x9 |=0.00065ε， } 故 x*≈x10≈ 0.567 xk+1=e –xk x0=0.5, x2=e –x1=0.54524,……. x1=e –x0=0.60653, 例 方程f(x)=x3-2x-5=0在(1.5, 2.5)内有一实根，分别取 作为迭代函数，试判断对应的迭代公式是否收敛，并用一个收敛的迭代公式求方程的根，精度要求为ε=10 -4。 解 (1) 单调，且 所以迭代公式 收敛。 } 取x0=2 计算, 0 1 2 3 4 5 2 2.08008 2.09235 2.0942 2.09449 2.09454 ? 0.08008 0.01227 0.00187 0.00027 0.00005 ? k xk ?xk-xk-1 ? 因为 |x5-x4|=0.0000510-4 所以x*≈x5=2.09454 } …… 结果列表： } (2) 迭代函数 根据定理2.2, 迭代函数对应的迭代公式 是发散的。 1. 牛顿法的基本思想 10.4 牛顿迭代法（切线法） } 2. 牛顿法的计算步骤 把非线性方程线性化，用线性方程的解逐步逼近非线性方程的解。 1、牛顿迭代法的基本思想： 切线的方程 y=f(xk)+f ?(xk)(x – xk) 点(xk+1 , 0)满足该方程，即 0= f(xk)+f ?(xk)(xk+1 – xk) 过曲线上的点pk(xk , f(xk))作切线，取切线与轴的交点为 xk+1 。 由此得 } 用这个迭代公式求根的方法也称牛顿迭代法、切线法。 } Newton迭代公式 若 f ?(xk )≠0，则得 f ?(xk)(xk+1 – xk) = - f(xk) } } 2、牛顿迭代法的计算步骤 (1)给出x0 , ε； (2)计算 (3)若 则转(4)；否则 ，转(2); (4)输出x1 ,结束。 例 用牛顿迭代法求方程 xex-1=0 在x=0.5附近的根（取5位小数计算），精度要求为ε=10 –3. 解 相应的牛顿迭代公式为 取x0=0.5，经计算可得 ,则x2-3=0, 求 等价于求方程 令 例 用牛顿迭代法计算 解 的正实根。因为 f′(x)=2x ，由牛顿迭代公式得 取初值 x0=1.5，迭代5次可得 ≈1.732050808 问题 如何用牛顿法计算任意正数的算术平方根？ 是否还能用牛顿法计算一个正数的立方根？ } Newton-下山法. 每次迭代在改变量前加一因子以保证收敛: x n+1=xn-λn f(xn)/f′(xn) 这儿λn在0,1间,可用各种方法有哪些信誉好的足球投注网站,例如用分半法取1,1/2,1/4,…试探,使 ∣f(xn+1)∣∣f(xn)∣ 简化Newton法. 为减少计算导数的花费,可只求f′(x0)以后所有导数不另求.这相当于第一次作切线,以后作其平行线.当然,这样收敛要慢些.还可以取折衷方案,