简支欧拉伯利梁谐响应分析.docVIP

基于Euler–Bernoulli方程微悬臂梁弛豫分析 摘要：为探讨微机电系统中悬臂梁结构弛豫动力学特性，本文基于Euler–Bernoulli方程，计入空气滑膜阻尼对悬臂梁弛豫过程的影响，导出悬臂梁挠度弛豫表达式；给出临界阻尼、过阻尼、欠阻尼梁挠度弛豫算例；利用ANSYS对微悬臂梁临界阻尼、过阻尼、欠阻尼弛豫进行仿真，挠度弛豫过程在梁固定端附近与理论差异较大，仿真数据与理论偏差随挠度增加。 关键词：Euler–Bernoulli方程；悬臂梁；挠度；阻尼；弛豫 中图号：O333 　文献标志码: A 微机电系统在智能控制领域应用广泛，而梁结构是其机械结构的重要组成部分，微梁结构动静力学特性、电固耦合特性以及相关控制理论已成为最近研究热点。耦合效应[1]、复杂的边界条件以及剪应力导致梁控制方程的解析十分困难,对于涉及微梁结构的理论问题,通常采用各种数值计算方法，如有限元法[2]、边界元法[3]等,但为讨论数值计算的正确性和精度,通常需要以特定条件下存在精确解析解作为参考。本领域目前主要研究方向为压电梁或磁电梁的解析解[4-5]、数值模拟[6-7]以及非线性动力学[8]，且多以梁负载下非线性屈曲或幅频特性为讨论重点。微悬臂梁作为微机电系统中常用梁结构，其卸载后的弛豫过程影响微机电系统的响应时间和精度，相关研究成果未见发表。在微悬臂梁弛豫过程中，空气阻尼作用始终存在，其效应一般分为压膜阻尼[9]和滑膜阻尼[10]，考虑到悬臂梁的细长形态，压膜效应可以忽略。本文将以Euler–Bernoulli梁理论[11]为基础，只计入空气滑膜阻尼效应，结合数值计算及有限元仿真，探讨微悬臂梁弛豫的动态过程。 1 梁弛豫动力学原理 Euler–Bernoulli梁理论在无修正情况下不考虑梁剪切形变忽略转动惯量效应[12]，适用于小挠度，小转角细长梁动力学分析，能够描述梁挠度变化与载荷的关系。微机电系统中梁动力学响应幅度有限，适用Euler–Bernoulli梁理论。悬臂梁屈曲后挠度如图1所示，为梁中心线上坐标处在某一时刻时，形变量在方向的位移，即梁形变后挠度。当弛豫速度为时，压膜阻尼力反向作用于梁，滑膜阻尼力沿水平作用于梁。 图1. 悬臂梁挠度示意图 Fig1. Schematic diagram of cantilever beam deflection 动态Euler–Bernoulli梁方程为[13]： （1） 为梁弹性系数，为梁截面惯性矩，为密度，为梁截面面积，为梁中心线上位移处单元时挠度，为时梁上载荷分布。梁卸载弛豫后载荷即为空气阻尼，忽略压膜阻尼效应：，为滑膜阻尼系数，表示滑膜阻尼沿梁平面作用，与挠度方向垂直。 引入无量纲广义刚度，广义阻尼系数，考虑悬臂梁边界条件[13]，则由（1）式可得空气滑膜阻尼作用下梁长为的悬臂梁弛豫方程组为： （2） （3） （4） 采用分离变量法可得方程组（2）、（3）、（4）解为： （5） 式中、、、为常数。当时间时，，故；随单调递增，当时，，即式（5）简化为： （6） 其中。 （7） 取式（7）中虚部即为时谐项，由式（6）的梁挠度弛豫表达式为： （8） 其实部与其他项乘积即： （9） 为梁微元在形变过程中在方向的位移形变量。 悬臂梁弛豫角频率为： （10） 弛豫周期： （11） 当时，式（10）可简化为： （12） 即为梁固有角频率。 令（10）为零可解得临界阻尼系数： （14） 2 Maple数值算例 将式（8）中的复数取模，时谐项初位相增加，初始挠度不为零的弛豫计算表达式为： （14） 令，，，初始挠度即为1。由式（14）得临界阻尼系数：，以下分临界阻尼、过阻尼、欠阻尼三种情况计算梁挠度弛豫过程。 （1）临界阻尼弛豫 取，挠度弛豫计算依据式（14），无量纲梁挠度临界阻尼弛豫如图2所示。 图2. 悬臂梁临界阻尼弛豫图 Fig2. Critical damping relaxation