简并微扰理论高阶正公式的推导.docVIP

PAGE PAGE 13 简并微扰理论高阶修正公式的推导 吴丹丹（湖北大学物理学与电子技术学院 2001级物理学） 一、引 言 量子体系的能量常出现简并，即对应于某一能量本征值，存在不止一个能量本征态。例：“一维自由粒子，对应能量E，有两个能量本征态即出现二重简并。对于三维自由粒子能量E给定后，都是能量本征态，P的大小虽已确定，但方向是任意的，所以简并度无穷大。 在一般量子力学教科书上，对于简并情况定态微扰论的计算，如果一阶微扰近似一经完全消除简并，就不再做下去，只是限于指出“这个计算还可以在更高阶情况下进行，正如前面所考虑的非简并情况一样”等等。 有极少量文献处理了简并微扰二阶修正，并给出二阶近似能量公式，且指出它与非简并情况相同。文献[5]为依据的文献[4]引用了三阶能量公式但并未进行推导。文献[6]同样做为文献[5]的依据，也未进行详尽的推导。本文详细地计算了一阶近似已经完全消除简并情况下的高阶近似能量公式和相应的近似波函数公式。 二、简并微扰理论 2.1 基本方程 假设体系的哈密顿算H不显含时间，而且可以分成两部分：一部分是，它的本征值和本征函数)是已知的；另一部分很小，可以看作是加于上的微扰： ， （1） H所对应的本征值方程为 （2） 以和表示H的本征值和本征函数,则对应的本征值方程为： （3） 如果没有微扰，则H就是；，Ψn就是。微扰引进后，体系的能级由，变成En，即能级发生移动（如图一）。波函数也有变成。 图1 受微扰后能级的移动 假定的第n个能级为f重简并，其本征方程为 （4） 一般来说，这些数函并不一定相互正交。但是，我们总可以用f2个常数把这个函数线性组合成一个新函数： 使得这些新函数正交。也就是 （5） 类似的，对于其它的任何一个态，假定能量为，简并度为，对应个正交的新函数为 由此，我们可以得到以下关系： （6） （规定、、和均为能级指标，、、和1均为能级的简并指标。） 为了明显地表示出的微小程度，将其写成 其中是一个很小的实参数。由于和都与微扰有关，可以把它们看作是表征微扰程度的参数的函数。将它们展开成为的幂级数： （7） （8） 式中，依次是体系未受干扰时的能量和波函数，成为零级近似能量和零级近似波函数；和是能量和波函数的级修正等等。其中表示近似的阶数。将（7）式（8）式代入定态薛定谔方程（3）中得到 这个等式两边同次幂的系数应相等。由此得到下面一系方程 （9） （10） （11） （12） （13） ………… （15） 引入的目的是为了更清楚的得到方程（9）（10）……（15）。这个目的达到以后，我们将省去，把理解成，（以下把写成），把,分别理解为能量波函数的一级修正等等，这样就没有含糊不清之处。 2.2 零阶波函数和一阶能量修正 依照（4）式，零阶波函数可以写成 （16） （10）式显然满足零阶近似方程（9），其中ani(0)为待定系数项。 将（16）式代入方程（10）中，有 再以左乘上式两边，并对整个空间积分得 对上式左边，由于为厄密算符，又为实数，从而 =0 对上式右边 则上面的积分方程变成 f （17） 欲求（17）式的非零解，则必须便ani(0)的系数所组成的行列式为零，即 这个行列式方程称为久期方程，解这个方程可以得到能量的一级修正的个根。因为，若的个根中有几个重根，说明简并只是部分被消除，必须进一步考虎能量的二级修正，才有可能使能级完全消除简并；若的个根都不相等，则说明一级微扰可以将度简并完全消除，在以下的讨论中，我们都有此假设。同时，有 （18） 成立。 为了确定能量所对应的零级近似波函数，可以把的值代入方程（17）中，就可以解出一组对应的ani(0)，再代入（16）式中，就得到相应的，由此，可以得到个即， 讨论：微扰前后，对比能级图如下： 图1 2.3 一阶波函数修正 由方程（9）和（15）可知，如阶波函数修正满足阶近似方程，则仍满足原阶方程，在此我们不妨令也就是规定正交条件 由于是度简并，且一阶微扰可完全消除简并，所以应有个不同的值，为了分析的方便我们令其分别为,,同样有f个不同的值, 令其分别为,。在以下的计算中,用到(9)~(15)式,其中的换成,换成。于是我们可以将阶波函数修正展成为 （19） 把（19）式中的取1，有 （20） 根据态的表象原则，我们可以知道 （21） 把（20）式代入一阶近似方程（10）中，有 用左乘以上式，并在整个空间积分，得 在上式中 则上式变成 （22） 再把（20）代入到（11）工中，有 用左乘上式并在整个空间积分，有 在上式中 则积分变成 （23） 把（22）、（23）式代入到（20）式中，得以完整的一阶波函数修正为 （24） 2.4 二