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解析几何之椭圆 课前回顾： 1. P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹中点的轨迹方程为： （ ） A、 B、 C、 D、=1 2、 点P(x0，y0)在圆x2+y2=1上运动，则点M（2x0，y0）的轨迹是 （ ） A.焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆 C. 焦点在y轴上的双曲线 D. 焦点在X轴上的双曲线 知识要点： 1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。 2、弦长公式：若点在直线上， 则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 或者 。 3、两条直线垂直：则 两条直线垂直，则直线所在的向量 4、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。 常见的一些题型： 典型例题： 问题1：椭圆如何定义的，如何利用这个定义？ 知识诊断： 平面内与两个定点的距离之和为常数,的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.，为焦距 当时, 的轨迹为椭圆 ; ; 当时, 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为 以为端点的线段 注意：焦距要小于所给的常数即 例题1： (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（ ） A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1),此时小球经过的路程, 此时小球经过的路程此时小球经过的路程，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于A、B两点，则△AB的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 2. (广雅中学2009—2010学年度上学期期中考)已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ） A． 5 B． 7 C ．13 D． 15 问题2：椭圆的标准方程是如何建立的 知识诊断： 椭圆的标准方程是在以两焦点的中心为坐标原点，两焦点所在的直线为坐标轴的条件下得出来的，焦点在横轴上，标准方程式：。焦点在纵轴上，标准方程为：。 例题2：设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程. 【变式练习】 1. 如果方程表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________. 2.已知方程,讨论方程表示的曲线的形状 3.椭圆的离心率为，则 问题3：求椭圆的标准方程的方法有哪些 知识诊断： 求椭圆的标准方程首先确定焦点在那条坐标上，然后求方程的有关参数，方法有三：一是直接根据定义由椭圆上的点到两焦点的距离和求，然后求，最后写标准方程。二是由条件列方程组求，写标准方程。三是利用待定系数法设标准方程。找有关的方程组求系数。 设标准方程时注意：当焦点不确定时，可设为：或 。 例题3：椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程. 变式：1、（2010深圳模拟）设分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距。 （1）求椭圆的标准方程。 问题4：椭圆具哪些性质 知识诊断：1。离心率：2.、对称性：关于x轴、y轴和原点对称3、焦点：焦点在横轴上，焦点在纵轴上。4、顶点：焦点在横轴上，焦点在纵轴上。5、范围：：焦点在横轴上，焦点在纵轴上。6、点与椭圆的位置关系: 当时,点在椭圆外; 当时,点在椭圆内; 当时,点在椭圆上; 例题4： 在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ． 【变式练习】 1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为（ ） . . . . 2（江苏盐城市三星级高中2010届第一协作片联考）已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为（ ） 问题5：如何利用椭圆的几何性质解题 知识诊断：椭圆性质包括：范围、对称性、顶点、离心率等利用这些解题时要将