第8章参 数 估 计 课件.pptVIP

* 第 八 章 参 数 估 计 §8 .3 区间估计 §8.1 估计量的优劣标准 §8.2 获得估计量的方法——点估计 一致估计 无偏估计 有效估计 矩估计法 极大似然法 点估计：以样本的某一函数值作为作为总体中 未知参数的估计值。 区间估计：把总体数字特征确定在某一范围之内。 问题 总体X 的分布类型已知，但其中的一个或几个参数未知， 如何对总体分布的参数作出估计。 参数估计 例： 若总体X的分布函数为F(x, θ)，而 θ 未知，如何利用总体 样本 对θ 进行估计。 例：设总体 §8.1 估计量的优劣标准 一、一致估计 即对任何正数ε， 如果当n→∞时， 依概率收敛于θ， 定义 有 则称 是θ的一致估计。 要求 当样本容量 n 无限增大时，估计量能在某种意义下充 分接近被估计的参数。 二、无偏估计 为θ的无偏估计量。 则称 定义 要求 样本均值 是总体均值μ的无偏估计值。 ∴ 是μ的无偏估计值， 证 结论1 样本方差 是总体方差 的无偏估计值。 证 结论2 则称 比 有效的估计量。 问题 方法 设 及 都是θ的无偏估 定义 计量， 如果 三、有效性 的值最小，则称 是 的有效估计值。 如果对于给定的n， 注2：无偏有效估计量以最大的概率保证了这估计的观察值在未知参数的真值附近摆动。 注1： 样本平均数 是总体期望的有效估计量。 §8.2 参数的点估计 用样本原点矩 来估计总体原点矩 一、求点估计值的方法 —— 矩估计法 方法 用样本中心矩 来估计总体中心矩 二、求点估计值的方法 ——最大似然估计法 方法 选取 使得当他作为 的 估计值时，是观察结果出现的可能性最大。 似然函数： 定义8.4 对于离散随机变量就是估计概率函数中的参数 ，对于连续型 随机变量就是估计概率密度中的 。 定义： 离散型随机变量： 连续型随机变量： 如果 方法： (1) 写出似然函数，对似然函数两边取对数得到 (2) 考虑下边方程组： 则方程的解 即为要求的最大似然估计。 例1 设总体X服从指数分布，概率密度为 求参数 λ 的矩估计值和极大似然值。 其中 λ 为未知参数。如果取得样本观测值为 解 （1） 令 得 λ 的矩估计值为 似然函数为 （2） 得 λ 的极大似然估计值为 令 然估计值。 例2 设总体X服从正态分布 其中μ及 σ 是未知参数。 如果取得样本观测值为 求参数μ及 σ 的极大似 似然函数为 解 令 所以得 μ 及 σ 的极大似然估计值为 解得 解 得 θ 的矩估计值为： 令 (1) 取得样本观测值为 求参数θ 的矩估计与极大似 例6 设总体X的概率密度为 如果 然估计值。 得 θ 的极大似然估计值为： (2) 似然函数为： §8.3 区间估计 一.区间估计的概念 置信水平与置信区间 假设用 作为未知参数θ 的估计值， 若对于任意ε 0,都有 即参数θ在随机区间 取值的概率为1-α, 结果的可靠性。 置信区间表示估计结果的精确性，而置信水平则表示这一 要求： （1） θ 要以很大的可能被包含在区间 即1-α 要尽可能大. 内， 1-α叫做置信水平,称区间 为参数θ的置信区间. 概率 （2）估计的精度要尽可能高，如要求区间长度 2ε 尽可能小. 如果对于给定的置信水平1-α,有 一般地， 若 及 是由样本确定的两个 统计量， 则随机区间 叫做参数θ的对应于置信水平1-α的置信区 间， 叫做置信下限， 叫做置信上限。 置信区间的意义: 如果进行N 次抽样，第k次得到的样本 测值为 得N个区间 参数θ的置信区间，称为参数θ的区间估计。 对于已给的置信水平1-α， 根据样本观测值来确定未知 定义 这N个区间中，有的包含参数θ的真值，有的不包含，当等 值的区间大约占100(1-α)%. 式 成立时，这些区间中，包含参数θ的真 第一种情形：方差已知，对 进行区间估计。 二、总体期望值 的区间估计 1. 总体分布未知 思路：利用切贝谢夫不等式 2.正态总体均值μ的区间估计 (1)设总体X～ 已知 求参数μ的置信区间。 样本函数 则对于给定的α，引