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統計決策 第2章 PAGE PAGE 37 第三帝国时代公司帝国时代 第二章 貝氏決策理論 Sec.2.1簡介 1. 決策問題的基本結構 行動 → 本性狀況 → 結果 行動：決策時可採取的策略，通常以a表之，令為行動空間(action space)。 本性狀況：決策時可能面臨的情況，通常以參數表之。令為參數空間(parameter space)。 結果：決策在所面臨的實際情況下，所產生的後果，常以支付(收益、損失、成本)或悔惜表之。 2. 決策時可引用的資訊 (1)行動所導致的結果 指相關的支付(收益、損失、成本)與悔惜，本章將以損失函數為主。 (2)本性狀況的資訊 指各種本性狀況的發生率，這常會涉及某些參數。如果參數有未知的情況時，我們可能須利用樣本，以取得相關訊息。 (3)樣本的訊息 為增加決策的客觀性，我們會透過抽樣(或實驗)取得樣本，再利用樣本的資訊來形成決策。 (4)決策者的經驗 指決策者對參數的看法。引用決策者對參數的看法的決策方法，稱之為貝氏方法(Bayes approach)。在貝氏決策模式中，通常把相關參數視為隨機變數，亦即決策者對參數的分布有一定的看法。也就是說，認為參數的分布是已知的，而參數的分布稱之為事前分布(prior distribution)。 例1：藥商欲決定新藥是否要上市？有兩個量數是重要考量：(1)藥的效能，及(2)市場接受度。 (1)行動空間，其中表上市；表不上市。 (2)參數空間。 (3)根據及之值，可算出行動及之支付(或悔惜)值。 (4)由於二量數及是未知的，我們必須取得相關樣本資訊。 (a)透過臨床實驗→取得樣本→猜測之值。 (b)透過市場調查→取得樣本→猜測之值。 (5)根據藥商多年經營的經驗，或許對及有相關的看法，而可提供決策參考。 ※傳統統計決策理論：引用樣本資訊及行動之結果的資訊作決策。 ※貝氏決策理論：除了引用樣本資訊及行動之結果的資訊外，尚引用決策者的經驗(指對參數的看法)作決策。 3. 損失函數 (1)當實際狀況為時，而採取行動a所受的處罰，記為，即為損失函數(loss function)。 (2)通常規定。 例1：(續) 藥商欲依市場接受度決定新藥是否要上市？ (1)行動空間，其中表上市；表不上市。 (2)參數空間。 (3)損失函數 (4)抽樣：實際隨機抽出n個人，設其中有X個人表示認同，則。 (5)藥商根據過往的經驗，新藥推出的市場接受度不會太高，而其事前分布應為布於[0.1 0.2]上之均勻分布(uniform distribution)，i.e. 。 Sec.2.2期望損失、決策規則及風險 1. 期望損失 定義1. 設參數之事前分布為，則行動a之貝氏期望損失(Bayesian expected loss)為 。 例1：(續) 損失函數 之事前分布為，(i.e.均勻分布)，則貝氏期望損失為 例2：投資者有兩種投資選擇：為投資具風險債券；為投資無風險債券。其面臨兩種可能狀況：表”no default occurs”；表”a default occurs”。相關損失函數為 -500 1,000 -300 -300 又之prior為。試求貝氏期望損失？ Sol： 2. Frequentist Risk 未引用貝氏方法之統計決策理論稱之為frequentist school(或classical school)。 定義2. 設表樣本空間，表行動空間。一決策規則(decision rule)乃由映至之函數。當樣本觀測值為x時，即為所採取之行動。對二決策規則與而言，若，則稱與為等價(equivalent)。 例3：一公司當其訂貨(如零件)送達時，其須驗貨以決定是否接受該批貨物？今隨機抽驗n件貨品，設X表n件貨品中不良品的個數，則，其中 為不良率。 樣本空間。 參數空間。 行動空間，其中表接受該貨物；表退回該貨物。 決策規則 我們常以來估計之值，故可定義如下： 定義3. 決策規則之風險函數(risk function)為 。 ※當樣本資料時，。 定義4.(1)當，則稱 is R-better than 。 (2)當，則稱與為R-equivalent。 定義5.(1)對決策規則而言，若不存在任何R-better之決策規則，則稱為可取的(admissible)。 (2)對決策規則而言，若存在使得，且與並非R-equivalent，則稱為不可取的(inadmissible)。 例4：設，現以a估計，其損失函數為。令決策規則為，試求風險函數？ Sol： Case1：c 1