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浅谈导数在数学中的应用 学生姓名：王敏 指导教师：张铭泽 一、引言 微积分学，是人类思维的伟大成果之一，在数学领域中占据着主导地位，而微分依赖于导数，这使得导数成为初、高等教育的一种特别有效的工具。导数来源于求曲线在一点处的切线和运动物体在某时刻的瞬时速度，也就是说导数是函数的变化率，它的引入为解决数学问题提供了新视角、新方法，它的应用使得我们在处理问题时达到简单、方便、高效的目的，那么下面就应用导数这种工具来具体研究的方程、函数的性、函数、函数、曲线及拐点等问题。 导数在数学中的应用 （一）导数在求曲线的方面的应用 的概念是纯粹从方面来刻画变化率的本质，它反映了随的变化。比如质点作，它在任意一处速度的是沿着切的，而切在几何上的定义就是曲线的的极置。因此，的几意义就是在几何上表示曲在处的线的率，即，其中是切的。那么结合的点程可得，曲的切程为：。 例1.求线在处切线的. 分析：这主要是根据的几义来求出切. 解：由得 所以切线的斜率为 故切线的切程为： 即. （二）在函数的性方面的应用 在中学我们常常借助的图像和的定义判断一些简单函数的性，而对于繁杂而艰难的数，我们通常以为工具对数的性进行判断。 1.用一阶的符号判断性的理据 （1）如果在间内，总有，则在此区间是数，的区间；如果在间内，总有，则在此间是数，的间；如果函数在区间内，总有，则为常数。 （2）设在某个区间内，如果在该区间内，则在该区间内有；如果在该间内，则在该区间内有。 2.利用判断性的骤 求出函数的 在的定义域内和 根据(2)的结果得出函数的单调性及其 例2.判断下列的性及其. 分析：本题是利用判断函数的性、求函的单间，在解题中要注意函数的，全面讨论。对于含的注意要使用分类的思法即(2)要根据的情况判断的性. 解：（1）函数的定义域为， 令即 解之得 令即 解之得 故的单调为，单调为. 当时，，其区间，区间. 当时， 令，则即 故的增区间为,减区间为. 综上：当时，递增区间为，递减区间为； 当时，递增区间为，递减区间为. 在函数的方面的应用 1.函数的与的关系 如果，并且在附近的侧，，那么是极大值，如果，并且在附近的侧，，那么是极小值。 2.利用求解函数的 依据函数的求得函数的函数 得出的根，根据方程的的情况，连续将的定义域划分成若干个间，并制成 由在方程的根的左右的符号，来判断在在这个根处取极值的情况，在判断中我们要特别注意导数等于零的点不一定是极值点，可导点一定是等于的点。 例3.设与是的两个. 试确定常数的值； 试判断与是的点还是值点，并说由. 分析：利用点与的关系，建立由点与所确定的相关，运用待定法确定的值，再利用的定义进行. 解：（1） 由极值点的必要条件可知： {解方程组得｛ . 由（1）得 函数的定义域为 、随的变化情况如下表： 当时，有极小值；当时，有极大值. 总之，的概念是一个性念，如果一点处的比它附近的函数大（小），这一点的函就是大（小）值。 （四）在函数的方面的应用 在经济管理、工农业生产、工程技术和科学实验中，经常要面临最优规划、最优设计、最优决策及资源的最有利用等优化。这类问题体现在上通常可为：在一定下，求某一的问题。下面我们分种情形来问题。 闭区间上连续的 （1）函数的与的关系 一般地，如果在闭区间上的像是一条的曲线，那么它必有值和，如果在区间上函数的是一条连续不断的，那么她不一定存在，如果在区间上只有一个点，那么这个点必定是点。 求解函数的 求在内的 求点的函、 比较各与、的大小，其中最的就是最，最的就是为值 例4.求函数，的. 分析：求数，令，然后列表的号，从而求得的值. 解： 令即 解之得：或（舍） 当变化时，，的变化情况如下表： 1 当时，有值， 在上，函数无值. 2.实际应用问题中的最值 在实际应用中，经常提出并需要解决最优化问题，其中解决优化问题的基本思路：首先要材料，理意，实际把它概括成问题，利用知识相应的，使用概括性地表示出所出来的，利用知识对进行、研究，如通过使用导数的性质理论有效的解决数学问题进而得出数学结果，然后结合实际问题对所得的数学结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定问题的答案，从而解决优化问题。 （1）在解决用料最省、费用最低等最小值问题中的应用 例5.已知、两地200千米，一只船从地水到地，水为8千米每小时，船在中的速度为千米每小时。若船每小时的与其在中的速度的平方比，当千米每小时时，每小时的为720元，为了是全程最省，的实际速度为多少呢？ 分析：要求使用的用最省，实际