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对称性在多元积分学中的应用 第19卷第12期 2005年12月 成都教育学院 J0UIALOFCHENGDUCOUEOFEDU咖ON V0l19.No.12 Dec.2oo5 对称性在多元积分学中的应用 吴鹏 (ml川建筑职业技术学院四川德阳618000) 【摘要】我们通过对多元函数积分和定积分横向(共性)和纵向(特性)的比较,能够清晰地看到对称性在解决多元积 分计算问题中的重要作用;能够深刻理解并熟练地掌握这些常见的解题技巧对提高学习效率,应试等多方面是非常有利的. 【关键词】对称性;多元积分;应用技巧 【中国图书分类号】0172.2【文献标识码】A【文章编号】1008—9144{2005)12—0043—03 积分学是高等数学中一个重要的部分,一元函数的定积 分可以通过其几何意义得到一个非常重要的解题技巧—— 利用对称性解题: 函数)在对称区间[一o,o]上连续,则 fo,/()为的奇函数; J一)i2广)如,)为的偶函数. 相应地,二重积分,三重积分,第一类型的曲线积分和曲 面积分理论中也有对称性,并且这些对称性质相比定积分而 言有共通性,也有其自身的特性;只不过很多教材书中没有 提到,但是在一些考试中(如升本,考研)却屡见不鲜.能够把 这些性质比较后并找出规律,对求解积分题元疑又是一个有 力的工具. 一 ,对称性的共性问题 下面仿照定积分的对称性,给出多元积分学中常用对称 性问题. 引理1(二重积分的对称性质) 如果,Y)在区域D上连续,区域D关于轴对称,且 D,为区域D位于轴上侧的区域,则 f0,,Y)为Y的奇函数; 如i2f’x,y)出,,),)为),的偶函数. 注:若D关于Y轴对称,则只需考虑关于的函数,有类 似上述的结果成立. 例1计算,=[1++Y)]ab,其中D由Y= ,Y=1,=一1所围成,+Y)是D上的连续函数. 解:D本身没有对称性,但是D=D.UD2,其中D是由 Y=ll与Y=1所围成,它是关于Y轴对称的区域;D2是 D中除去D.即由Y=,Y=一和=一1所围城的区域, 它是关于轴对称的区域.根据引理1有 ,=II[++)]ab+lJ[+xyf(x+y2)]出 = 0+盯出+0=.如J.=一号=一号. 引理2(三重积分的对称性质) 如果,),,:)在区域n上连续,有界闭区域n关:f:xoy 面对称,r2.为位于xoy面上侧的区域,则 【】,),,:)妣= fo,,Y,:)为:的奇函数; 12x,y,z)如州:,,,,,:)为:的偶函数. 订l 注:对于积分区域n关于其余两个坐标平~(yoz平面, 凹平面)对称时,有类似上述的结果成立. 例2求HJ(+),+:)dv,其中r2是由:=X2+),与 +Y+:=2所围成的空间区域. 解:被积函数(+Y+:)=+Y+:+2(xy+yz+ 猫),其中xy+yz是关于),的奇函数,并且积分域n关于撇 平面对称,故…(+)幽=0;同理,彩是关于的奇函数, 且积分域n又关于平面对称,故…=0,于是 c+y+:,=c2+y+z,. 再求出确定n的两曲面的交线{:=+x2:++y:2::2,即 {:-+::1,由柱面坐标公式得: Jj『…=(r2 : 2(田一:)+÷[(2一:)一]}西 = 磊(9o一89). 【收稿日期】2oo5—06一o4 【作者简介】昊鹏(197)男,四川建筑职业技术学院基础科学系,助理讲师. ? 43? 第12期2oo5年12月成都教育学院No.12 Dec.20D5 引理3(第一型曲线积分的对称性质) 如果光滑曲线工关于轴对称,,),)在L上连续,L-得 为工位于轴上侧的弧段,则 rO,,Y)为Y的奇函数; Jl.x,y),x,y)为),的偶函数. 注:若工关于Y轴对称,则只需考虑关于的函数,有类 似上述的结果成立. 例3设L为椭圆+专=1,其周长为o,求 4).(2xy+3x2+4y)ds. 解:由于积分曲线工关于Y轴对称,2xy为的奇函数,根 据引理3的注释可得:2xyds=Oo又根据椭圆方程得3x+ 4y=12,因此9)L(2+3+4y2)ds=Lds=12口. 引理4(第一型曲面积分的对称性质) 如果曲面|s关于xoy面对称,,Y,:)在|s上连续,|s. 为|s位于xoy面上侧的曲面,则 : 嗽. 注:对于曲面|s关于其余两个坐标平面(yoz平面,XOZ平 面)对称时,有类似上述的结果成立. 例4计算汀譬,其中S是球面:+y2+:2:.:. 解:由于曲面|s是整个球面,所以|s关于xoy面对称. 是关于:的奇函数且在|s上连续,所以汀:0. 以上是多元函数的积分与一元函数定积分在对称性方 面所具有的共通性,即不论是哪种多元积分,最终都考察的 是一元函数的奇偶性,从而仿照定积分的对称性解题.而多 元函数又具有其自身的特殊性——有多个自变