一类时间分数阶偏微分方程数值解有限元逼近-finite element approximation of numerical solution for a class of time fractional partial differential equations.docxVIP

1绪论本章首先介绍了分数阶导数的历史和基本知识,并且说明了当前对分数阶导数的一 些应用情况,然后通过文献的列举阐述该领域的研究现状,同时指出了本文讨论的问题 和研究方向,最后对本文的基本框架进行了表述.1.1历史背景本文考虑的是一类时间分数阶偏微分方程.分数阶微分方程是一类将经典整数阶微 分方程中的导数定义用分数阶导数替换而得到的微分方程. 分数阶导数的概念已经出 现很长时间了, Leibniz 于 1695 年最早提出了非整数阶导数的概念,不过当时仅仅讨论 了二分之一阶导数的意义. 后来随着其他人的不断完善,任意阶导数和积分理论开始发 展起来. Liouville , Gru¨nwald , Letnikov 和 Riemann 等人都对其进行了相关的理论研 究.分数阶导数和积分的理论基本成形于 19 世纪末. 很长时间以来,由于应用所限分数 导数理论只是在数学领域内作为一种纯理论在发展. 但是由于分数阶导数的独特性质 以及研究的进一步深入,分数阶导数正越来越多地运用于实际工程中.关 于 分 数 阶 导 数 有 着 许 多 不 同 的 定 义 形 式， 不 过 有 三 种 经 常 被 大 量 使 用,即 Gru¨wald-Letnikov 定义, Riemann-Liouville 定义和 Caputo 定义. 其定义形式分别如 下,Gru¨wald-Letnikov 定义:pnGp?p ∑r ( )a Dt f (t) = lim hh→0nh=t?ar=0(?1)r f (t ? rh),Riemann-Liouville 定义:Rp 1d m+1 ∫m?pta Dt f (t) = Γ(?p + m + 1) · ( dt )(t ? τ )af (τ ) dτ, (m 运 p m + 1),Caputo 定义:Cp1 ∫t fψ(m)(τ ) dτa Dt f (t) = Γ(?p + m + 1), (m p m + 1).a (t ? τ )p?m一般而言,这三种导数并不是等价的,却有着相应的联系.在函数充分光滑的情况下,前 两 种 定 义 是 等 价 的. 这 在 实 际 应 用 中 是 容 易 满 足 的.所 以,对 这 两 类 导 数 的 数值逼近都可以采用从 Gru¨wald-Letnikov 定义所导出的格式. 另外,当采用 Riemann-Liouville 导数来构造分数阶微分方程时,其初值条件不存在相应的物理解释; 而使用 Caputo 导数却可以得到和传统整数阶微分方程相同的初值条件.因此,在实际工程应用 中,通常利用 Caputo 导数来建立模型.分数阶导数是整数阶导数的一种推广,但是却具有和整数阶导数不相同的性质. 从 上面的定义形式可以看出,分数阶导数表现出非局部性,更适合描述一些具有记忆或遗 传性质的过程. 相比于整数阶导数,采用分数阶微分方程建立起的模型更为简洁和准 确.正是由于其独特的性质,分数阶导数被广泛地应用于多个学科领域中. 例如,在粘弹 力学 [1, 2],经济学 [3],化学与生物化学 [4]和其他许多领域里 [5–10],分数阶导数都有着 重要的应用.1.2 研究现状偏微分方程是描述各种自然现象和物理规律的有力工具,而当我们把分数阶导数应 用于实际中,就会得到各种各样的分数阶偏微分方程,即用分数阶导数替代整数阶微分 方程中的导数定义而得到的方程.和整数阶偏微分方程一样,分数阶微分方程的解析解 和数值解的研究都是人们所关注的对象.关于分数阶偏微分方程解析解的性质,很多学者进行了大量的研究,也得到了许多 结果 [11–13].Schneider,W yss [12] 和 W yss [13] 采用Fox函数的形式给出了时间分数阶 扩散-波方程的 Green 函数以及其某些性质. M ainardi [14]利用 Laplace 变换甚至得到 了此类方程在一定初边值条件下的基本解.然而,通常求出此类方程的解析解是比较困难,而且在实际应用中人们更关心数值 解.差分法是求得微分方程数值解的一种重要方法 [15–20].M urio [21] 利用 Caputo 导数的定义,给出了方程?αu(x, t)?tα=?2u(x, t)?x2,在齐次 Dirichlet 边界条件下的一种隐式差分逼近方法,并证明了其是无条件稳定的,从而依据 Lax 等价定理 [22]知该方法是收敛的.Zhang [23] 研究了一类空间-时间分数阶对流-扩散方程,? ?αu(x, t)? ?u(x, t)?β u(x, t)???tα= ?b(x)+ a(x)?x?xβ? c(x)u(x, t) + q(x, t), 0 x L; 0 t 运 T,u(x, 0) = f (x