一类带有临界sobolev指数的半线性椭圆方程的分析-analysis of a semilinear elliptic equation with critical sobolev exponent.docxVIP

第一章引言1.1研究的问题及研究背景考虑如下半线性椭圆方程：?μu??Δu?k2*?2=u2u+λuu,q?2x∈Ω,?∏x?ai?i=1??u=0,x∈?Ω。（1.1.1）i这里Ω?RN(N≥3)是一光滑有界区域，a∈Ω,(i=1,2,..,k)各不相等，k≥2，λ∈R，2≤q2*，μμ，μ:=(N?2)2/4为最佳Hardy常数，2*=2N/(N?2)是临界Sobolev指数。一般在实际问题中抽象出来的微分方程很复杂，我们并不能直接求出它的解，而只能根据方程来分析解的存在性、正则性和稳定性。本论文主要用变分法研究方程(1.1.1)在Sobolev空间中变号解的存在性，并用Morse迭代方法证明方程的非平凡解在奇点的渐近性质。微分方程中的椭圆方程问题一直到人们的广泛关注，原因是这类问题与大量的数学物理问题有着密切的联系。十七世纪后期，数学家们（当他们当时也都是物理学家）在探讨用微积分解决物理问题的过程中提出了变分问题。十八世纪，经Euler、Lagrange等人的工作逐渐形成了一个解决数学物理问题的数学分支学科——变分法。变分法的基本内容是确定泛函的极值点和临界点，在一定条件下确定泛函的极值点和临界点与确定微分方程边值问题的解这两个问题可以互相转化。也就是说，微分方程边值问题常常可以化为变分问题来研究。近几十年来，椭圆方程问题引起了很多学者对其进行研究，也出现了大量的研究方法，但是变分方法是研究微分方程边值问题的一种基本方法。随着物理学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学需要在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面发展，偏微分方程变成了数学的中心。非线性偏微分方程理论的研究科追溯到上个世纪早期，尤其最近几十年来，在生物学、生态学、人口的动态学等方面出现的很多现象能够用非线性偏微分方程和方程组描述，因而引起了数学工作者对非线性偏微分方程研究的极大兴趣。微分方程中的椭圆方程问题一直到人们的广泛关注。对一些重要偏微分方程解的存在性、适定性、多解性、解随时间的演化等进行广泛而深入的研究，不断解决理论研究和实际应用中出现的问题。近几十年来，单个椭圆方程问题引起了很多学者对其进行研究，也出现了大量的研究结果。带有临界Sobolev指数的半线性椭圆方程是当前学科前沿的热点问题之一，对其正解和变号解的存在性研究具有重要的数学物理意义。由于非线性偏微分方程和方程组的复杂性和多样性，使得这类问题的研究难度加大，发展潜力也大，也正因为如此，国内外的研究工作一直非常活跃，解决这类问题的新理论和新方法一直处于不断的发展中。目前，研究非线性椭圆型微分方程可解性的方法主要有变分法、半序方法和拓扑度方法等。而在实际问题的解决过程中变分法是强有力的工具之一。它主要通过某个泛函I在一个恰当的Banach空间E上的临界点来刻画的，此时微分方程在E上的弱解就是I在E上的临界点．因此，寻求泛函的临界点就成为解决问题的关键。通过极小化系列来寻找泛函的临界点可以追溯到Fermat的最小作用原理，此时其相应的Euler-Lagrange泛函是下方有界的，并且找到的临界点是稳定的临界点。但是在一些具体的问题中，古典变分理论已不再适用。在这种背景下，近代变分法逐渐完善地发展起来。近代变分法主要包括极小极大理论和Morse理论。这两种理论都是依靠拓扑方法，研究一般的、未必是极值点的临界点。1973年，A.Ambrosetti和P.Rabinowitz的山路引理可以说是临界点理论发展史上的一个重要里程碑，随后的鞍点定理和环绕定理是对山路引理的进一步推广。这些抽象的定理被广泛用于寻求椭圆问题非平凡解的存在性与多解性以及Hamilton系统的周期轨道和波的受迫振动等，只要与其相应的Euler-Lagrange泛函满足紧性性质(通常称为(PS)条件)。但是在一些实际间题的研究中，失去紧性条件的现象大量存在，诸如有界区域上包含临界指数的非线性椭圆方程和无界区域上的非线性椭圆方程。1983年，Brezis和Nirenberg的文章可以说是临界点理论研究的又一个重大突破，他们首次选择特殊的山路和能量估计，证明了如果泛函满足局部的(PS)条件，那么存在一个山路型的临界点。另一类失去(PS)条件的问题是强共振问题，这里涉及到退化临界点特别是无穷远处临界群的计算以及更一般形式下的Morse不等式。加上某种强制性条件或应用微分方程中的截断技巧也可以处理某些失去(PS)条件的问题。Morse理论则是更深刻、更精细的临界点理论，它运用“数量型”的拓扑工具(同调群)对泛函在临界点附近的局部行为给出精确的刻划(临界群)，并给出局部行为与整体性质之间的深刻联系(Morse不等式)，从而在多解存在性的研究中必将发挥重