一类非线性斯图谟-刘维尔方程边值问题解的存在性分析-existence analysis of solutions to boundary value problems for a class of nonlinear stumo - liouville equations.docxVIP

第二章证明所需的预备知识第一节锥的定义及锥拉伸与锥压缩不动点定理为了证明非线性斯图谟—刘维尔方程解的存在性，我们这里引述文献[9-10]中给出的一些概念和定理作为预备知识。1.锥的定义定义2.1设E是实Banach空间，如果P是E中某非空凸闭集，并且满足下面两个条件：（i）x∈P,λ?≥?0?λ?x∈?P（ii）x∈P,??x∈?P?x??θ?，其中θ表示E中零元素，则称P是E中的一个锥。用P0表示P的内点集。如果P0≠???，则称P是一个体锥。注：给定E中一个锥P后，则可在E中的元素引入半序：x≤?y(x,y∈E)如果y??x∈?P；若x≤?y，x≠?y则记x??y；若y??x∈?P0（若P是体锥）则记x???y。2.范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理引理2.1：设?和?是E中有界开集，θ?∈???????????，A：P∩(?\??)→?P1211221全连续。如果满足条件（H1）Au≤?u，?x∈?P∩??1；Au≥?u，?x∈?P∩??2。（H2）Au≤?u，?x∈?P∩??2；Au≥?u，?x∈?P∩??1。2那么，A在P∩(?\?1)中必具有不动点。引理2.1的证明参见[2]之定理3.2.4。第二节几个预备定理对于下面的齐次边值问题??u??0,x∈?0,1?(2.2.1)?u(0)??u(1)??0通过计算可以得到（2.1）的格林函数为：??x(1??s)0≤?x≤?s≤?1?G(x,s)???s?1??x?0≤?s≤?x≤?1(2.2.2)引理2.2：设问题（2.2.1）的格林函数如式（2.2.2），则（i）G(x,s)≥?0,???x,s?∈?0,1???0,1??；G(x,s)??0,???x,s?∈??0,1????0,1??；（ii）G(x,s)≤?G(s,s),???x,s?∈?0,1???0,1?；（iii）G(x,s)≥?min?x,1??x?G(s,s),???x,s?∈?0,1???0,1??。考虑下面的两点边值问题???u??f(u(x))??0u(0)??u(1)??0x∈?0,1?(2.2.3)其中f:?0,1???R→?R连续。则有下面结论：引理2.3：问题（2.2.3）等价于积分方程1u(x)??∫0G(x,s)f(u(s))ds(2.2.4)其中格林函数见式（2.2.2）。引理2.3的证明类似文献[10]中定理6.1.1的证明。引理2.4：假设（i）f∈?C??R??,R???,f(0)??0；（ii）0≤?limx→?0f(u)??8；u（iii）243??limx→?∞f(u)≤??∞?。u那么，问题（2.2.3）必有解u(x)∈?C2?0,1??满足u（x）0,?0??x??1.引理2.4的详细证明见文献[10]的定理3.2.8。第三章p(x)为特殊间断点处分段常数时S-L边值问题解的存在性第一节格林函数及其基本性质3.1.1，格林函数的求解参照问题（2.1）（2.3）我们可以利用常微分方程的通解分开解两个问题：（1）??p(x)?′′(x)??00≤x≤?1???(0)??0(3.1.1)?（2）??p(x)ψ?′′(x)??00≤x≤?1?ψ?(1)??0（3.1.2）这里??p1p(x)?0≤?x≤?1/2，p≥?p??0，???p21/2??x≤?112设（3.1.1）与（3.1.2）的解分别为??Ax??B0??x≤?1?211??(x)?，??Ax??B1??x≤?1????22?Cx??D20??x≤?1?ψ?(x)??????112.D1??x≤?122由（3.1.1）、（3.1.2）的边界条件和衔接条件??（1-）=?（1+）,?22??ψ（1-）=ψ（1+）?22???p?‘(1?)??p?’(1?)??pψ?(1?)??pψ?(1?)????1222????1222解得：?A1x?0??x≤?12?(x)=?pp??p1,(3.1.3)??A1(??1x?p221)2p2??x≤121?D0??x≤?1?ψ（x）=?2.(3.1.??D1??x≤?1?????124)于是，我们可以利用以上两个通解的组合导出问题(1.2)的格林函数如下：当0≤?s≤?1时，2???G(x,s)???w1xws0≤?x≤?s≤?120≤?s≤?x≤?1，1?1?2?ws0≤?s≤?1≤?x≤?1而当1≤?s≤1时，2?1????wx20≤?x≤?1≤?s≤?1????22?pP??PG(x,s)????w(1x???21)1≤?x≤?s≤?1，2???2?p22P22?pP??Pw(1s????21)1≤?s≤?x≤?1???2?p22P22由pG′(s??,s)??pG′(s??,s)??1，得出pw??0??1，即w??1，pG′?(s??,s)??