一类带有临界sobolev-hardy指数的椭圆方程组的非平凡解-nontrivial solutions of a class of elliptic equations with critical sobolev - hardy exponent.docxVIP

摘要本论文研究了下列的椭圆方程组：??Lu????Lv??|u|p?2u|x|bp|v|p?2v|x|bp?ηαα??β?ηβα??β|u|α??2|v|βu|x|bp|u|α?|v|β??2v|x|bp??a1u??a2v,??a2u??a3v,x∈??,x∈??,?u??v??0,???x∈???,其中，???N(N≥3)是有界的光滑区域，0∈?????，算子L:???div(|x|?2a??)????2|x|2(1?a)，0≤?a??，a≤?b??a?1，0≤?η????∞，0≤????????a?，ai∈??，1≤?i≤?3，1??α?,β???p?1，α???β???p，p??p(a,b):?2NN??2(1??a?b)是临界指数，??:??(N??2)2是最佳Hardy常数.这是一2个含有多个临界指数的奇异椭圆方程组，椭圆方程组是偏微分方程中的一个重要组成部分.偏微分方程无论是在数学学科本身，还是在现实生活领域中，都扮演着一个重要角色.从数学自身的角度来看，偏微分方程是数学中的重要分支之一，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、常微分方程、级数展开等其他数学分支进行发展，从这个方面来看，偏微分方程可以说是数学的中心部分.而在实际生活中，以力学、生物学、化学和物理学等为研究背景的自然科学和工程技术，其很多问题的研究最终转变为偏微分方程的研究，如力学中关于弦振动的运动过程的研究，这就是一个典型的偏微分方程.随着物理学科所研究的现象在广度和深度两个方面的发展，偏微分方程应用范围更为广泛，因此，对偏微分方程的研究不仅是数学学科本身发展的需要，更是实际生活向前发展的需要.椭圆型偏微分方程是一类重要的偏微分方程，椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分学中都有应用.对于椭圆型偏微分方程，着重研究其在Sobolev空间中的正解、多解、变号解或非平凡解的存在性，以及某些解的特殊性及近似估计.对于线性的偏微分方程，很容易得到它的一些特解，而在应用上，更关注的是求满足某些附加条件的解，也就是边值问题中对解的研究.对椭圆型方程的研究，研究的方法有差分法、变分法和积分方程法等.在论文中，研究对于大范围内的ai(1≤?i≤?3)问题的非平凡解的存在性.研究上述的椭圆方程组解的存在性等价于其相对应的能量泛函J(u,v)的非零临界点.首先，介绍了所要研究的问题及其背景，并对将要用到的有关知识作了简单介绍.所要研究的问题是数学学科中的变分问题，所应用到的方法为变分法，这也是本文主要应用到的方法，并且由Hardy不等式得到算子L的相关性质，并建立了算子L的第一特征值，再由Young不等式，得到几个相关的最佳常数，这里的关键是得到最佳常数S(?)的达到函数.其次，由于研究的问题所对应的能量泛函不满足全局紧性条件，因此，经典的变分法在此已经不能解决此问题.为此，我们由标准椭圆理论，结合Brezis-Lieb引理，得到能量泛函所应满足的局部(PS)条件，并由变分不等式，结合截断函数和对空间L2的特殊化处理，加上一些分析技巧，对相关的最佳常数进行了研究，并对极值函数进行了一些渐近估计，从而利用这些结果得到方程组的非平凡解的存在性.最后，利用变分不等式，对能量泛函进行了研究，并由环绕定理，对定理1.3.1，定理1.3.2和1.3.3进行证明，且由变分原理，结合临界点理论，证明出方程组有vk对非平凡解的结论，其中vk表示λk的重数.关键词：奇异椭圆方程组，多重临界指数，环绕定理，变分原理，渐近估计AbstractInthispaper,westudythefollowingsystem:??Lu????Lv??|u|p?2u|x|bp|v|p?2v|x|bp?ηαα??β?ηβα??β|u|α??2|v|βu|x|bp|u|α?|v|β??2v|x|bp??a1u??a2v,??a2u??a3v,x∈??,x∈??,?u??v??0,???x∈???,where???N(N≥3)isaboundeddomainwithsmoothboundary????suchthat0∈??，theoperatorL:???div(|x|?2a??)????2|x|2(1?a)，0≤?a???，a≤?b??a?1，0≤?η????∞?，0≤????????a?，ai∈??，1≤?i≤?3，1??α?,β???p?1，α???β??p，p??p(a,b):?2NN??2(1??a?b)isacriticalexponentand??:??(N?2)22isthebestHardyconstant.Thisisasingularellipticsysteminvolvingmultiplecriticalexponents.PartialDifferential