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太原理：[人学硕．1j研究生学位论文 2以阶非线性微分方程组的多解性 摘要 本文主要利用非线性泛函分析中的变分法，结合临界点理论，特别是 Morse理论，研究2n阶非线性微分方程组 s戈s ，…，刀 、工。上’上7(1．1．1) f(一1)iM；2。o)：旦墼兰删，o u02L=f，1 七 ； i=1，2，…，刀，，=071，…，i一1 l“j2，’(o)=比j2D(1)=0， 解的存在性、唯一性与多重性，其中FECl(【o，1】×R4，R1)． 全文共分三章． 第一章简略介绍了问题(1．1．1)的研究背景、本文的研究方法及得到 的主要结论． 第二章首先证明一些为研究问题(1．1．1)所必备的基本引理，同时也简 单陈述了本文要用到的临界点理论与Morse理论的相关知识。 第三章证明了本文的主要结果．首先利用强单调映像原理证明问题 (1．1．1)解的存在惟一性，并用山路引理证明(1．1．1)非零解的存在性．得 到的结论为 定理3．1．2假设对任意的xEl，有e(x，o)：0，而且下列条件满足： 2R，都有 口，)存在弘∈(o，1／2)及R0，对于任意的x∈，且bl F(工，“)sMV。F(x，“)。U； 太原理一】：人学硕士研究生学位论文 _：)lirasupi．1--．o xEl一致成立． 则问题(1．1．1)在C(n，，)中至少有一个非零解． 其次，利用临界群与MOTS理论，结合拓扑度指数定理证明了问题 (1．1．1)至少有两个非零解，并在非线性项为奇函数的条件下，证明阀题 了问题(1．1．1)存在无穷多个解．得到的结论为 件满足： 即，)limsuP卅。F0，．)／lul21／(2^)对于x∈，一致成立； F0，搿)／缸121／(2A．k+；)对x《歹一致成立。 timsupl．1_．,o 则问题(1．1．1)在C(n，，)中有至少有两个非零解． 定理3．2．2如果下列条件成立： 0《F(x，“)麟∥V。F(x，“)。U； ，扛，-u)=∥仁，轾)，Vu∈灭“。 则问题(1．I．1)在c(甩，j『)中存在无穷多个解． 关键词：方程组，多解性，临界点，临界群，Morse理论 太原理jl：人学硕七研究生学位论文 第一章 引言 众所周知，非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，它是研究当今科学领 域中出现的各种非线性问题的强有力的理论工具．特别是在证明各种非线性方程解的存 在性与多重性等方面，发挥着不可替代的作用．非线憔泛函分析的基本方法主要有拓扑 度方法、锥与半序方法及变分方法等，具体内容见参考文献[1-11]， 近年来，由于微分方程边值问题在力学、物理、生物及现代控制理论等许多科学领 域中有着广泛的应用，众多学者利用非线性泛函分析方法研究了其解的存在性与多重性 等问题． 本文主要利用非线性泛函分析中的变分方法，结合临界点理论，特别是Morse理论， 研究2甩阶非线性微分方程组 s 毛f一薹，2，…，理 Uox k^．王．j，(1．1．1) ‘ ； j(-1)‘醒；2蛰扛)=皇兰!兰掣，O f=1，2，…，撑，歹=o，1，…，i一1 l“：2j)(o)=U[2j)(1)一0， 解的存在性、唯一性与多重性，其中FECl(【o’1】x尺8，R1)． 我们注意到有许多文献(例如，可见文[12-24])分别研究了