3 有理函数和可化为有理函数不定积分.docVIP

§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 (一) 教学目的： 会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分． (二) 教学内容： 有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分． 1）要求：会计算有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分． (2) 利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分． (三) 教学建议： (1) 适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分的习题． (2) 本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生掌握． ———————————————————————————— 我们已经学习了不定积分的三种基本积分方法：第一换元法，第二换元法，分部积分法。灵活的应用它们，就可以求出许多不定积分。 有理函数是指两个多项式的商表示的函数 先介绍代数学中两个定理： 定理1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式总那个可以唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积： 定理2 （ 部分分式展开定理） 因此有理函数的积分问题就归结为 和 例 1. 求不定积分 将被积函数按部分分式分解 两边同乘 比较同次项系数 解此方程组 f1=A+B-2; f2=3*A+2*B-1; [A,B]=solve(f1,f2) A = -3 【B = 5 由此得到 也可直接用下面命令 b=[2,-1]; a=[1,-5,6]; [r,p,k]=residue(b,a) r = 5 -3 例 2 解 将分母分解因式 f=sym(x^5+x^4-5*x^3-2*x^2+4*x-8); factor(f) ans =(x-2)*(x^2-x+1)*(x+2)^2 因此可分成部分分式 两边同乘 ，比较同次项系数得 clc,f=sym(A*(x+2)^2*(x^2-x+1)+B*(x-2)*(x+2)*(x^2-x+1)+C*(x-2)*(x^2-x+1)+(D*x+E)*(x-2)*(x+2)^2);collect(f,x) ans = (B+A+D)*x^4+(E+2*D+C-B+3*A)*x^3+(-3*C+2*E-4*D-3*B+A)*x^2+(3*C-4*E-8*D+4*B)*x+4*A-2*C-4*B-8*E 比较同次项系数得 解此方程组 f1=B+A+D-2; f2=E+2*D+C-B+3*A+1; f3=-3*C+2*E-4*D-3*B+A-4; f4=3*C-4*E-8*D+4*B-9 ; f5=4*A-2*C-4*B-8*E+10 ; [A,B,C,D,E]=solve(f1,f2,f3,f4,f5) A =1 B =2 C =-1 D =-1 E =1 另一种方法是 令 得 §4 不定积分的计算 （4） 三角函数有理式 型的积分 万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分， 令， 就有 ， ， . 解法一 ( 用万能代换 ) . 解法二 ( 用初等化简 ) . 解法三 ( 用初等化简, 并凑微 ) 代换法是一种很灵活的方法. 例 1 求 f=2*(1+sin(x))/(sin(x)*(1+cos(x))*(1+t^2)); f1=simplify(subs(subs(f,2*t/(1+t^2),sin(x)),(1-t^2)/(1+t^2),cos(x))) f1 = 1/2*(1+t^2+2*t)/t expand(f1) ans = 1/2/t+1/2*t+1 int(f1) ans = 1/4*t^2+t+1/2*log(t) 例 2 求 f=2*(3-sin(x))/((3+cos(x))*(1+t^2)); f1=simplify(subs(subs(f,2*t/(1+t^2),sin(x)),(1-t^2)/(1+t^2),cos(x))) f1 = (3+3*t^2-2*t)/(2+t^2)/(1+t^2) 利用部分分式展开，积分 f2=int(f1) f2 =log(2+t^2)+3/2*2^(1/2)*atan(1/2*t*2^(1/2))-log(1+t^2) 求 解 f=1/(a^2*t^2+b^2); int(f) ans = 1/b/a*atan(a*t/b) s=t-sqrt((x+2)/(x-2));