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平面向量与三角综合题解题策略与导学功能 　　摘要:本文从四个方面论述了平面向量与三角综合题的解题策略与导学功能. 　　关键词:向量积;导学功能;思维功能;发现功能 　　 　　由于三角函数的知识与平面向量的平行、垂直、数量积、求值,求向量模长,求向量的不等式,角的三角函数值,角的大小,判定三角形的形状,三角函数的极值、存在性问题,求函数表达式等问题联系在一起,故可将三角知识作为工具,且大有用武之地. 　　 　　解求值问题,用数量积的策略,训练学生运用三角公式的思维功能 　　所谓思维功能,从认知心理学看,就是通过解题来训练学生的数学思维. 而数学思维是人脑对数学对象的信息加工过程. 所谓“策略”一词最初的意思是诡计或欺骗,后来演变为描述军队中用计谋取胜的将军. 数学解题思维策略是在解题之前确定的总体思路与谋略,是带原则性的思维方法,是主体认知的思维决策选择. 　　例1设a,b,c分别是△ABC三个内角∠A,∠B,∠C的对边,已知向量m=1-cos(A+B),cos,n=,cos且m#8226;n=. 　　(1)求tanAtanB的值; 　　(2)当A=B时,求的值. 　　解析(1)由m#8226;n=向量数量积条件的坐标化得[1-cos(A+B)]+cos2=,即[1-cos(A+B)]+=,亦即4cos(A-B)=5cos(A+B),推出tanAtanB=. 　　(2)因为A=B?圯tanA=tanB=,所以tanC=tan(π-2A)=-=-. 　　又因为==tanC?圯的最大值为-. 　　三角公式只有运用才能掌握. 如例1第(2)问中的诱导公式、倍角的正切公式、商的公式、余弦定理的变形成了解题的关键. 在(1)中向量的数量积公式、和(差)角的余弦公式、降幂公式只有在运用时才能被激活. 　　求数量积、向量模长以及函数用以上二者表示的表达式,培养学生发现功能 　　例2 已知向量a=cos,sin,b=cos,-sin,x∈0,. 　　(1)求a#8226;b及a+b; 　　(2)求函数f(x)=a#8226;b-4a+b的最小值. 　　解析(1)向量数量积a#8226;b=cos,sincos,-sin=cos#8226;cos-sinsin=cos2x, 　　a+b2=a2+b2+2ab=cos2+sin2+cos2+sin2+2cos2x=2+2cos2x=4cos2x.因为x∈0,,所以a+b=2cosx. 　　(2)f(x)=a#8226;b-4a+b=cos2x-4×2cosx=2(cosx-2)2-9. 因为x∈0,,所以cosx∈[0,1]. 当cosx=1时,f(x)取得最小值2×(-1)2-9=-7. 　　“发现法”是美国教育学家、心理学家布鲁纳首先提出的. 他说:“发现不限于寻求人类尚未知晓的事物,确切地说,它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方法.” 其实函数既用数量积表示,又用向量的绝对值表示就是新的发现. 使学生在思维过程中既有新的探索,又产生新的理解,获得新发现. a#8226;b=cos2x与a+b=2cosx,即两向量的数量积与这两向量的和的模长的实质都是数. 　　 　　用向量法既判定存在性又判定三角形的形状,用类比策略,训练学生追求美妙、神奇的功能 　　“类比就是一种相似”. 它是从一种特殊到另一种特殊的推理. 　　以研究性学习为园地,以类比联想为工具,以归纳发现为手段,以先猜后论的数学思想为指导. 正如英国心理学家培英说:“创造发明都是由类似联想引起的”,这时我们自然得出以下猜想――“类比就是相似比较”. 联想是一种既有目的又有方向的想象,是由当前感知或思考的问题想起其他事物的心理活动. 所谓类比联想,就是以类比为方法、以联想为导向的探求规律和探索解题思路的策略. 　　波兰数学家斯#8226;巴拿赫说:“一个人是数学家,那是因为他善于发现判断之间的类似;如果能判明论证之间的类似,他就是一个优秀的数学家;可是,我认为还应当有这样的数学家,他能够洞察类似之间的类似.” 类比、 联想前面例1的解题策略,下面例3也就会解了. 　　例3已知A,B是△ABC的两个内角,a=cosi+sinj(其中i,j是两个互相垂直的单位向量),a=. 　　(1)试问tanA#8226;tanB是否为定值,若是定值,请求出,否则说明理由; 　　(2)求tanC的最大值,并判定此时三角形的形状. 　　解析(1)把a2=的向量条件坐标化,2cos2+sin2=?圯cos(A+B)+1+=,推出(因为这里i, j是两个互相垂直的单位向量,故它们的数量积为零) 　　2cos(A+B)=cos(A-B)?圯cosAcosB=3sinAsinB得tanAtanB=.