导函数中不等价转化问题.docVIP

导函数中不等价转化问题 　　等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果.不等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口. 　　“转化与化归”思想是处理数学问题的一种基本策略.转化和化归就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，就是在数学研究中，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方法. 转化有等价转化与不等价转化.等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果.不等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口.在高中数学中，经常出现许多导函数不等价性的结论，例如：f(x)在区间I上为增函数（或减函数），则f′(x)≥0（f′(x)≤0），反之f′(x)≥0（f′(x)≤0），则f(x)不一定是增函数（或减函数），同样f′(x?0)=0,则f(x)在x=x?0处不一定有极值，他们显然不是充要条件，但是在解题中，我们经常将他们当作等价命题来使用，不加检验，以致错解，本文对此进行探讨. 　　问题情境一： 　　导函数f′(x)0是否是函数f(x)在I内单调递增的充要条件？ 提示：否，例如函数y=x?3. 　　变形：函数在y=ax?3-1（-∞,+∞）上减函数，则实数a的取值范围？ 　　错解：有的同学这样做 ∵函数y=ax?3-1在（-∞,+∞)上减函数.∴f′(x)≤0在（-∞,+∞)上恒成立，即3ax?2≤0,又x?2≥0,再采用分离系数得a≤0,所以a的取值范围为(-∞,0］. 　　以上解法是我们学生做这种题型的常见做法，但是这是错误.我们可以检验一下，当a=0时，y=-1在（-∞,+∞)上为常值函数，不具备单调性，显然a≠0，所以a的取值范围为(-∞,0). 　　一、 探究错因 　　我们说函数f(x)为增函数（或减函数）一定有f′(x)≥0（f′(x)≤0），在不改变单调性的情况下，使f′(x)=0成立的原因，无非两种情况： 　　第一、在函数y=f(x)图像上存在有限个可疑点，使得f′(x)=0，但不影响其单调性，比如：y=x?3,在x=0时，f′(x)=0，但函数y=x?3在R上仍然??单调增函数. 　　第二、在函数y=f(x)图像上存在无限多个可疑点，而且它们离散的，不构成区间，不影响函数的单调性，比如：y=x+?sin?x,令y′=1+?cos?x=0，则x=2k?π?+?π?(k∈Z),在所有的x=2k?π?+?π?(k∈Z)点处，y′=0,但函数y=x+?sin?x在R上仍然为单调函数. 　　第三、这就是f(x)为增函数，f′(x)≥0中f′(x)=0产生的原因，反之，却不一定成立，即f′(x)≥0不一定有f(x)为增函数. 　　 　　因为在函数y=f(x)图像上可能存在无限多个可疑点，使得f′(x)=0，但它们是连续的，构成一个小区间，在这个区间上f(x)=c为常值函数，而常值函数没有单调性，这就是f′(x)≥0，f(x)不一定为增函数的原因，也就是说这两者是不等价的，它们是不等价性，不是充要条件， 　　这就是本题产生错解的原因，所以对上述的结果必须要检验，因为它们是不等价性命题. 　　二、 解决途径 　　 　　方案1:结合图像求解，如右图所示，由y=ax?3-1得y′=3ax?2. 　　当a=0时，y=-1为常值函数，无单调性，故舍去； 　　当a≠0时，y′=3ax?2≤0在R上恒成立，只要a＜0.综上所述a＜0.故a的取值范围为(-∞,0). 　　方案2：利用f′(x)≤0, 并对a值检验，舍去多余的解，这种方法在前面已经叙述过. 　　方案3：利用f′(x)＜0,再补上相应的a值.因为y′＜3ax?20,则f(x)在(0,1)上为增函数，又在x=0处，不讨论单调性，故f(x)在(0,1］上为增函数.综上所述：a的取值范围为［-1,+∞). 　　例2 已知f(x)=2x?3-3(a+1)x?2+6ax+8,在（-∞,0)上为增函数，求a的取值范围. 　　分析：先求导得：f′(x)=6x?2-6(a+1)x+6a,因为原函数在（-∞,0上为增函数.故此时，有两种方案：Ⅰ） 可以采用分离系数的方法，转化为恒成立问题，不过有点麻烦. 　　Ⅱ） 上面已经讲过，可结合函数图像来求范围，下面我们结合图像来求解. 　　又∵f′(x)=6x?2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a). 　　所以，当a=1时，f′(x)=6(x-1)?2≥0,函数f(x)在（-∞,0)上为增函数，满足题意. 　　当a＞1时，在(-