第一节 不定积分的概念和 与性质(少学时简约版).pptVIP

微分学讨论引出了导函数概念及导数计算法。从计 算的角度看，求导数就是研究： 已知 f( x )求 f ?( x ). 实际问题的讨论中，常会遇到相反的问题，即 已知 f ?( x )求 f ( x ). 这就是不定积分研究的内容。 不定积分所讨论的是已知某函数的导函数 去确定该导函数是由什么函数求导而来的。 从计算上讲，求不定积分问题是导数运算 的逆运算，它应属于微分学的内容。 从概念上讲，确定一个函数是由什么函数 求导而来的是积分学讨论的问题，因而不定积 分又应属积分学问题。因此，不定积分内容是 微分学和积分学之间的桥梁。 (1) 问题的提出 已知速度求路程 研究物体运这动需知其位移函数。实际问题中，确 定质点位移函数常常是不便的，较方便的倒是测定质点 运动的速度。因此，需研究如何由已知质点运动的速度 函数 V( t )，去求质点运动的路程函数 S( t ). 抽象成一般问题就是：已知 f ?( x )求 f( x ). 在船舶制造中，需根据船体表面受力情况选择船体 形状 y = f( x ). 来自前方的阻力可分解为沿船体表面法 线方向和切线方向的两个分力。由于正压力不阻碍船的 前进，因此减小阻力关键在于减小沿切线方向的分力。 切线方向就是 f ?( x )的方向，切线方 向阻力的大小取决于曲线 y = f( x )的形状， 若能根据流体力学原理确定沿 f ?( x )方 向的阻力的大小，则可选择船体形状。 抽象成一般问题就是： 已知 f ?( x )求 f( x ). 已知斜率求曲线 水池有 100 L 溶有污染物的水溶液，其中污染物为 15kg. 现准备用清水冲洗，计划每分钟注入清水 5 L， 混合均匀溶液每分钟流出 4 L ，问: 1 小时后水池中的污 染物还有多少？ 由于清水的不断注入和混 合溶液的不断排出，水池中的污 染物的量 W 及和混合溶液的体积 V 都随时间 t 而不断改变，即有 W = W( t )，V = V( t ). 所求为：W( 60 )= ? 由导数 f ?( x )或微分 f ?( x )d x 求 f( x )的实例 由式子 d[lnW( t )]= d[-4ln( t + 1000 )+ C ? ]可得 lnW( t )= - 4ln( t + 1000 )+ C ?. 由已知当 t = 0 时，V( 0 )= 1000 ，W( 0 )= 15 . 代入上式有 ln 15 = - 4 ln 1000 + C ?，解得 C ? = ln( 15 ? 1012 ). 因此 lnW( t )= - 4ln( t + 1000 )+ ln(15?1012). 于是求得，当 t = 60 分时， 由本例的讨论看到，实际应用中确实会遇到两类 形式不同但本质相同的问题： 已知某个函数 f( x )的导数 f ?( x )，要求 f( x )， 或已知某个函数 f( x )，要确定它是哪个函数求导 而来的，即要求函数 F( x )，使得 F ?( x )= f( x ) . 已知某个微分形式 f ( x )d x，要确定它是哪个函数 微分而来的，即要求函数 F( x )，使得 dF( x )= F ?( x )d x )= f( x )d x . (2) 原函数的定义 如果在区间 I 上，可导函数 F( x )的导数为 f( x )， 即对任一 x ? I 都有 F ?( x )= f( x )或 dF( x )= f( x )d x， 那末 F( x )就称为 f( x )或 f( x )d x 在区间 I 上的原函数。 定义实际以双重形式给出的，即若在区间 I 上有 F ?( x )= f( x )，则称 F( x )为 f( x )在 I 上的原函数。 同时，若在区间 I 上有 dF( x )= f( x )d x，也称 F( x ) 为 f( x )在 I 上的原函数。 原函数 F( x )不是独立概念，它是相对于给定函 数f( x )或给定微分形式 f( x )d x 而言的。因此，不能 说函数 F( x )是或不是原函数，只能说 F( x )是或不是 某给定函数 f( x )的原函数。 原函数定义是双重的 原函数不是独立概念 由定义，只有对某区间 I 内的每一点 x 都有 F ?( x )