第一节 定积分的概念和 与性质(少学时简约版).pptVIP

(1) 讨论定积分可积性的意义 由定积分方法知，与连续分布的量相关的量的计算 问题可以归结为定积分这样一种和式的极限。但由定积 分定义，判断这种和式极限的存在性却是非常困难，这 就是定积分的可积性问题。 定积分可积性问题显然是定 积分讨论的首要问题，不解决这 一问题，有关定积分方法及计算 的讨论将是没有多少意义。 由尽管从数值计算角度判别定积分和式极限存在十 分困难，但从定积分的实际意义确定其可积性却并不困 难。例如，若曲边梯形曲边对应于连续函数 y = f( x )， 则曲边梯形面积就是一个确定的值，相应和式极限就肯 定存在。同理，只要变速直线运动物体的速度V = V( t ) 是连续的，则其在时间间隔[ T1 , T2 ]内所走过的路程就 是确定值，即相应和式极限就肯定存在。 注意到这一点，便可将判别定积 分的可积性从数值计算的角度转 换到考察相应被积函数 y = f( x ) 在积分区间[ a , b ]上的性质上。 (2) 定积分存在的充分条件 设 f( x )在区间[ a ,b ] 上连续，则 f( x )在[ a ,b ]上 可积。 定理 1 的条件虽然简单，但意义 却很重要。它使得不再需要通过极限 计算去判别定积分的存在性，而只需 考察其被积函数是否连续。 由于初等函数在其定义区间内连续， 它们对应的定积分总是存在的。因此该 定理为积分的进一步讨论提供了有力保障。 定理 1 定积分可积的第一充分条件 定理 2 定积分可积的第二充分条件 设 f( x )在区间[ a ,b ]上有界，且只有有限个间断 点，则 f( x )在[ a ,b ]上可积。 定理 2 指出，函数的可积性条件 还可进一步放宽，即便被积函数 f( x )在区间[ a ,b ]上不连续，即在 区间[ a ,b ]上有间断点，但只要间断 点不是太多(有限个)，则函数仍然是可 积的。需注意的是，在函数有界的前提条 件下，这些间断点不会是无穷间断点。 从几何直观看，当被积函数有有限个第一 类间断点时，对应广义曲边梯形面积仍存在。 (1) 定积分的几何意义 定积分的引例实际已部分地指出了定积分的几何意 义，但那是在曲边函数 f( x ) 0 的情形下考虑问题的。 对一般的定积分，被积函数 f( x )在积分区间上未必保 号，也未必非负，故需进一步考察定积分的几何意义。 若 f( x )? 0，且 a b ，则 此时定积分的几何意义是由曲线 y = f( x )，x 轴及 直线 x = a、x = b 所围成的曲边梯形的面积值 A，即 若 f( x )? 0 ，且 a b，则 此时定积分的几何意义是由曲线 y = f( x )，x 轴及 直线 x = a、x = b 所围成的曲边梯形面积 A 的负值 ，即 C. P. U. Math. Dept · 杨访 若 f( x )在[ a ,b ]区间上不保号，此时定积分的几何 意义是由曲线 y = f( x )，x 轴及直线 x = a、x = b 所围成 的各小曲边梯形面积 A i 的代数和。其中，当小曲边梯 形位于 x 轴上方时，对应的面积值取正号，当小曲边梯 形位于 x 轴下方时，对应的面积值取负号，即 研究定积分理论及计算应先弄清其基本性质。定积 分是和式极限，它自然具有极限的一般性质，但作为一 种特殊的和式极限，其性质又表现为一些特殊形式。 性质 1 函数和(差)的定积分等于定积分的和(差) 性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外 定积分是处理连续分布的变量累加的一种方法，它 以极限为工具，通过局部常数化将变量的累加问题转化 为常量处理，以实现连续分布变量累加的计算。 定积分概念及方法来源于对一类实际问题 的抽象。初等数学对问题的研究都基于一个基 本的假定，即所论问题中涉及的相关量应为常 量。如考虑计算路程时，假定速度为常量。求 质量时，假定密度为常量等。在实际问题中， 这些量常常是变常量。定积分所研究的就是如 何将所论问题中的这类变量转化为常量处理。 定积分研究源于两类基本问题，一类是平面图形面 积计算问题，另一类是变速直线运动路程计算问题。 以函数观点研究平面图形，一般平面图形可归结为 由一条封闭平面曲线所围成的平面区域，即曲边图形。 曲边图形面积计算的基本途径是将其转化为直边图形或 类直边图形考察。计算平面图形面积首先需考虑如何将 曲边图形转化为直边图形或类直边图形。 (1) 平面图形面积的讨论方法 (2) 曲边梯形的概念及面积计算 设 y = f( x )为闭区间