正弦函数和余弦函数的图像与性质-沪教版教案.docVIP

6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质 1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinxx∈[0，2π]的图象中，五个关键点是 (0,0) (,1) ((,0) (,-1) (2(,0) 余弦函数y=cosx， x([0,2(]的图像中，五个关键点是 (0,1) (,0) ((,-1) (,0) (2(,1) 3．定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R 4．值域 正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］. 其中正弦函数y=sinx,x∈R ①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1. ②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1. 而余弦函数y＝cosx，x∈R ①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1. ②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1. 5．周期性 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 1(周期函数x(定义域M，则必有x+T(M, 且若T0则定义域无上界；T0则定义域无下界； 2(“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)(f (x0)） 3(T往往是多值的（如y=sinx 2(,4(,…,-2(,-4(,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） 正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 6．奇偶性 y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数 正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称 7．单调性 正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 例1 求下列函数的周期： (1)y＝3cosx，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R； (3)y＝2sin(x－)，x∈R. 一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R及函数y＝Acos(ωx＋)，x∈R(其中A、ω、为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝. 根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子： (1)T＝2π，(2)T＝＝π，(3)T＝2π÷＝4π 例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0. (1)sin(－)－sin(－)； (2)cos(－)－cos(－)． 例3 求函数y＝的值域. 例4.f(x)＝sinx图象的对称轴是 . 例5.(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数? (2)函数y＝3sin(－2x)在什么区间是减函数? 【当堂训练】 1.函数y＝cos2（x－）＋sin2（x＋）－1是( ) A.奇函数而不是偶函数 B.偶函数而不是奇函数 C.奇函数且是偶函数 D.非奇非偶函数 2.函数y＝sin（2x＋）图象的一条对称轴方程是( ) A.x＝－ B.x＝－ C.x＝ D.x＝ 3.设条件甲为“y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数”，条件乙为“φ＝”，则甲是乙的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 ． 5.函数y＝sin2xtanx的值域为 . 6.函数y＝x－sinx，x∈［0，π］的最大值为( ) A.0 B. －1 C.π D. 7.求函数y＝2sin22x＋4sin2xcos2x＋3cos22x的最小正周期. 8.求函数f（x）＝sin6x＋cos6x的最小正周期，并求f（x）的最大值和最小值. 9.已知f（