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幂函数的性质与图像-沪教版必修1教案
幂函数的性质与图像
【教学目标】
1、掌握幂函数的概念。
2、掌握幂函数的性质和。
3、通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像。
4、熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想。【教学重点】与性质
【教学难点】幂函数的
教学过程
一、回顾与本堂课相关的知识点
(1) 若,则。()
(2) 若,则。(且)
(3) 有理数集Q={互质}
(4) 如图:
二、
1、引入熟悉的函数——这些函数都可以写成底数为x,指数是一个的形式。
(1)
(2)
2、定义
形如,(且互质)的函数叫幂函数。注意:幂函数的底数是变量x系数是1指数是有理数。练习
判断:下列各式中表示幂函数的有( ) 答案:C E F
A、 B、 C、 D、
E、 F、 G、思考:研究函数的性质可以从哪些方面考虑?
(回顾第三章的内容——函数的性质
考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、图像)
1、研究函数的奇偶性、单调性,并作出函数的图像。
解:函数的定义域为,值域为。(1)奇偶性。
因为函数的定义域不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶的函数。(2)单调性。
对任意,且
可得 则即所以函数在上为减函数。由以上几点分析函数的图像的性质由,可知函数的图像只在第一象限;
函数非奇非偶,可知图像不对称;
函数是减函数,可知y随x的增大而减小。描点作图:x 0.25 0.5 1 2 3 4 2.0 1.4 1 0.7 0.6 0.5
例2、的定义域、值域、奇偶性单调性,并作出它的。
解:定义域为R,值域为
(1)奇偶性。
对任意,满足,
使得
所以该函数是偶函数。(2)单调性。
对任意,且
所以,故有即
所以在上为增函数。
同理可得在上为增减数。描点作图:
x 0 1 2 3 0 1
在作函数的图像时,可以先作出该函数在第一象限内的图像,再由其奇偶性作出对称的另外一部分图像。
小结:研究函数图像的基本步骤(方法)
1、由定义域、值域判断函数在坐标系中的位置。
2、由单调性判断图像的变化趋势。
3、由奇偶性判断函数图像是否对称。练习指出函数的定义域、值域、奇偶性、单调性定义域:R
值域:R
奇偶性:奇
单调性:增函数
思考:函数有哪些性质?分析在第一象限内图像。
小结:图像在第一象限的特点。
(1)图像必过点。
(2)时,过点,且随x的增大图像向y轴方向延伸。在第一象限是增函数。
(3)时,图像是直线y=x。在内是增函数。(4)时,随x的增大图像向x轴方向延伸。在第一象限是函数。
(5)时,随x的增大函数图像与x轴、y轴无限接近,但永不相交。本课总结:
1、幂函数的概念。(并回顾了相关的知识点)
2、通过对函数性质的研究作函数的图像。
3、幂函数的图像与性质。
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这节课是学习一类新的函数——幂函数。因此课前先要复习相关的知识点。
a k
指数
底数
幂
由一些熟悉的函数通过变形,发现这类函数都可以写成“幂”的形式。
给出幂函数的定义,由运用定义来判断几个函数是否是幂函数。
幂函数会具有什么性质?通过回忆函数的性质,从这几个方面入手。顺便可以复习与函性质相关的知识点。数
y
1.4
1
0.7
O
0.5
1
2
x
作图时不妨考虑到函数的奇偶性与函数图像对称性之间的关系,更加简便。
y
1
1
O
x
小结:研究函数图像的基本方法不仅适用于幂函数,对任意函数都是可行的。
y
1
O
1
x
学生自己根据函数的性质来作函数的图像,体会研究函数图像的方法。
y
1
O
1
x
总结:幂函数图像在第一象限内的特点。
课堂总结,归纳本堂课的主要内容:即不仅学习了幂函数,更懂得如何运用函数性质研究函数图象。体会数形结合的思想在解题和思考中的应用。
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