全程复习方略20132014学年高中数学（人教A版必修四）课件223向量数乘运算及其几何意义（2014高考）.pptVIP

【变式训练】如图，已知 对任意点M，M点关 于A点的对称点为S，S点关于B点的对称点为N，用a,b表示向 量 【解题指南】根据M点关于A点的对称点为S，S点关于B点的对 称点为N，易得 两式相减后， 易得向量 与向量a,b的关系. 【解析】因为M点关于A点的对称点为S, 所以A为MS的中点. 又因为S点关于B点的对称点为N, 所以B为SN的中点， 所以 两式相减得 所以 类型 三 数乘向量几何意义的应用 【典型例题】 1.(2013·唐山高一检测)对于△ABC内部的一点O，存在实数 λ使得 成立，则△OBC与△ABC的面积比 是( ) A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.与λ有关 2.(1)已知e1，e2是不共线向量，a=3e1＋4e2，b=6e1－8e2, 则a与b是否共线？ (2)已知e1，e2是共线向量，a=3e1＋4e2，b=6e1－8e2, 则a与b是否共线？ 【解题探究】 1.题1中，如何作出向量 和 根据数乘向量的几何意义由 可以得到 什么结论？ 2.向量共线定理有哪两个方面的应用？ 探究提示： 1.可以利用平行四边形法则作出向量 和 根据数乘向量的几何意义由 可知 与 共线. 2.(1)判断两个向量共线.若存在一个实数λ，使b=λa(a≠0)， 则a与b共线. (2)表示两个共线向量之间的关系.若a与b共线(a≠0)， 则必存在一个实数λ，使b=λa. 【解析】1.选A.如图所示，设D,E分别是AB,AC的中点， 以OA,OB为邻边作?OAGB，以OA,OC为邻边作?OAFC， 则 因为 所以 所以点D,O,E三点共线， 所以点O在直线DE上. 又因为D,E分别是AB,AC的中点, 所以△OBC与△ABC的面积比是1∶2. 2.(1)若a与b共线，则存在实数λ∈R，使a=λb, 即3e1＋4e2=λ(6e1－8e2), 所以(3－6λ)e1＋(4+8λ)e2=0. 因为e1，e2是不共线向量， 所以 所以λ不存在. 所以a与b不共线. (2)因为e1，e2共线， 所以存在实数λ∈R，使e1=λe2, 所以a=3e1＋4e2=(3λ+4)e2, b=6e1－8e2=(6λ－8)e2, 当 时， a，b共线, 当 时，b=0，a，b也共线, 综上所述，e1与e2共线时，a，b也共线. 【拓展提升】 1.向量共线定理的两个应用 (1)向量共线的判定 对于向量a(a≠0)与b,如果有一个实数λ，使b=λa， 那么由向量数乘的定义知，向量a与b是共线的. (2)向量共线的性质 向量a(a≠0)与b共线，若向量b的长度是a的长度的λ倍，即∣b∣=λ∣a∣.那么，当a与b同向时，有b=λa; 当a与b反向时，有b=-λa;当b=0时，则λ=0. 总之，都可以表示成b=λa(其中λ唯一确定). 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 一、向量的数乘 定义 长度 方向 总结 实数λ与向量a的积 |λa|=________ 当λ0时,λa的方向与a的方向_____ 当λ0时,λa的方向与a的方向_____ 当λ=0时,λa=__ 向量的加、减、数乘运算统称为向量的_________ 结果 记作 _____ ____ 向量 λa |λ||a| 相同 相反 0 线性运算 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)实数λ与向量a的积是向量.(　　) (2)实数λ与向量a的和λ+a与差λ-a是向量.(　　) (3)对于非零向量a,向量-3a与向量3a方向相反.(　　) (4)对于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍.(　　) 提示：(1)正确.根据向量数乘的定义可知此说法正确. (2)错误.实数λ与向量a可以作乘法,但不可以作加减法,即λ+a和λ-a是无意义的. (3)正确.因为向量-3a与非零向量a方向相反,向量3a与非零向量a方向相同,所以向量-3a与向量3a方向相反. (4)正确.因为|-6a|=6|a|,|3a|=3|a|,所以|-6a|=2×|3a|. 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 二、实数与向量的积的运算律 运算律 特别情况 推广形式 设λ,μ为实数,那么 (1)λ(μa)=________. (2)(λ+μ)a=________. (3)λ(a+b)=________. (-λ)a=_______=_______;λ(a-