【备战2015】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第四节简单三角函数的恒等变换 文.docVIP

第四节　简单三角函数的恒等变换 能运用和与差的三角函数公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换?包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆?. 知识梳理 一、将二倍角公式变形可得到的公式 1．降幂公式：sin2α＝ ____________，cos2α＝___________，sin αcos α＝________. 2．升幂公式：1＋cos α＝________， 1－cos α＝________. 3．半角公式：sin＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝. 注意：等号后的正、负号由所在的象限决定． 二、辅助角公式 asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)， 其中sin φ＝，cos φ＝，即tan φ＝. 一、1.　　sin 2α　2.2cos2　2sin2 基础自测 　 　　　　　　　　 　　　 　　 1．(2012·哈尔滨三中月考)已知cos＝－，则cos x＋cos＝(　　) A．－ B．± C．－1 D．±1 解析：∵cos＝－，∴cos x＋sin x＝－，∴cos x＋cos＝cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝ ×＝－1.故选C. 答案：C 2．(2012·深圳调研)已知过点(0,1)的直线l：xtan α－y－3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝(　　) A．－ B. C. D．1 解析：依题意有－1－3tan β＝0，且tan α＝2，所以tan β＝－.所以tan (α＋β)＝＝＝1.故选D. 答案：D 3．(2013·无锡联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos，则sin 2α等于________． 解析：由cos 2α＝cos得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α＋sin α)，由α为锐角知cos α＋sin α≠0. ∴cos α－sin α＝，平方得1－sin 2α＝.∴sin 2α＝. 答案： 4. (2013·江西师大附中三模)已知sin＝－2sin，则tan 2θ＝__________. 解析：由sin(3π－θ)＝－2sin得tan θ＝－2，所以tan 2θ＝＝. 答案： 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝，则cos2＝(　　) A. B. C. D. 解析：因为cos2＝＝＝，所以cos2＝＝＝，选A. 答案：A 2. (2013·北京卷)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈，且f(α)＝，求α的值． 解析：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin， 所以f(x)的最小正周期为，最大值为. (2)因为f(a)＝，所以sin＝1.因为α∈， 所以4α＋∈，所以4α＋＝，故α＝. 1．(2012·杭州市学军中学月考)若直线x＝t与函数y＝sin和y＝cos的图象分别交于P，Q两点，则|PQ|的最大值为(　　) A．2　　　　　　　 B．1 C. D. 解析：依题意有|PQ|＝sin－cos＝|sin 2t|≤.故选D. 答案：D 2．若＝2 015，则＋tan 2θ＝________. 解析：＋tan 2θ＝＋tan 2θ＝＋tan 2θ ＝＋＝＝＝2 015. 答案：2 015 1