【四维备课】高中数学 1.2.1《任意角的三角函数》教学设计（一） 新人教a版必修4.docVIP

1.2.1 任意角的三角函数（1）教案 【教学目标】 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）. 【导入新课】 【复习导入一】：初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在中，设对边为，对边为，对边为，锐角的正弦、余弦、正切依次为． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 【情境导入二】 提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助直角三角形，复习回顾. 引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那 么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;;. 思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？ 显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： ;;. 思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 新授课阶段 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么： （1）比值叫做的正弦，记作，即； （2）比值叫做的余弦，记作，即； （3）比值叫做的正切，记作，即； 说明：①的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角，三个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小； ③当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义. ④除以上两种情况外，对于确定的值，比值、、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数. 2．三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域 [ 例1 已知角的终边经过点，求的三个函数制值. 解：因为，所以，于是 ；； 变式训练1：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值. 解：,,. 例2 求下列各角的正弦值、余弦值、正切值：（1）；（2）；（3）． 解：（1）因为当时，，，所以 ， ，； （2）因为当时，，，所以 ， ， ； （3）因为当时，，，所以 ， ，不存在. 例3 已知角的终边过点，求的正弦值、余弦值、正切值. 解：因为过点，所以， . 当； ；； 当； ；． 变式训练：求函数的值域. 解析：分四个象限讨论. 答案：{2，-2，0} 4．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）； ②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）； ③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）． 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值. 5．诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同. 即有：， ， （其中）． 课堂小结 1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域、值域； 3．三角函数的符号及诱导公式. 作业 见 同步练习 拓展提升 1. 是第二象限角，P（，）为其终边上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 是第二象限角，且，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3、如果那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 4. 已知的终边过（9，）且，，则的取值范围是 . 5. 函数的定义域为 . 6. 的值为 （正数，负数，0，不存在）. 三、解答题 7.已知角α的终边上一点P的坐标为（）（），且，求. 参考答案 一、选择题： 1. A 2 . C 3． D 二、填空题 4. 5. 6. 负数 三、解答题 7. 解：由题意，得： 解得：，所以 6 a的终边 P(x,y) O x y