2019年高考数学一轮总复习 第八章 解析几何 8.9.2 定点、最值与范围问题课时跟踪检测 理.docVIP

8.9.2 定点、最值与范围问题 [课 时 跟 踪 检 测]　 1．(2018届湖南益阳调研)已知抛物线C：y2＝4x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C于点P1，P2和点P3，P4，线段P1P2，P3P4的中点分别为M1，M2. (1)求线段P1P2的中点M1的轨迹方程； (2)求FM1M2面积的最小值； (3)过M1，M2的直线l是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 解：(1)由题设条件得焦点F坐标为(1,0)， 设直线P1P2的方程为y＝k(x－1)，k≠0. 联立得k2x2－2(2＋k2)x＋k2＝0. Δ＝[－2(2＋k2)]2－4k2·k2＝16(1＋k2)0. 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，M1(x，y)， 则x＝(x1＋x2)＝1＋， y＝k(x－1)＝， 所以x＝1＋y2. 所以线段P1P2的中点M1的轨迹方程为y2＝2(x－1)(x1)． (2)由(1)知点M1的坐标为，用－代换k可得M2的坐标为(1＋2k2，－2k)． 所以|FM1|＝ ＝， |FM2|＝ ＝2|k|， 因此SFM1M2＝|FM1|·|FM2|＝2≥4. 当且仅当＝|k|，即k＝±1时，SFM1M2取到最小值4. (3)过定点．当k≠±1时，直线l的斜率为k′＝， 所以直线l的方程为y＋2k＝(x－2k2－1)， 即yk2＋(x－3)k－y＝0， 当x＝3，y＝0时方程对任意的k(k≠±1)均成立，即直线l过点(3,0)． 当k＝±1时，直线l的方程为x＝3，也过点(3,0)． 所以直线l恒过定点(3,0)． 2．已知椭圆C：＋＝1(ab0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由e＝得＝，即c＝a， 又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2， 且与直线2x－y＋6＝0相切， a＝＝，代入得c＝2. b2＝a2－c2＝2. 椭圆C的方程为＋＝1. (2)由得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 假设存在定点E(m,0)，使得2＋·为定值， 则有2＋·＝·(＋)＝·＝为定值， 要使上式为定值，则应有3m2－12m＋10＝3(m2－6)， 即m＝. 此时2＋·＝m2－6＝－. 所以定点为，定值为－. 3．(2018届贵阳市监测考试)设点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋y2＝1(a0)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且·的最小值为0. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1Ml，F2Nl分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2的面积S的最大值． 解：(1)设P(x，y)，则＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，所以·＝x2＋y2－c2＝x2＋1－c2，x[－a，a]， 由题意得，1－c2＝0，c＝1，则a2＝2， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)将直线l的方程l：y＝kx＋m代入椭圆C的方程＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点知Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，化简得m2＝2k2＋1. 设d1＝|F1M|＝，d2＝|F2N|＝. 当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|，所以|MN|＝·|d1－d2|， S＝·|d1－d2|·(d1＋d2)＝＝＝.m2＝2k2＋1， 当k≠0时，|m|1，|m|＋2， S2. ②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，S＝2， 所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2. 4．(2017届石家庄模拟)已知以A为圆心的圆(x－2)2＋y2＝64上有一个动点M，B(－2,0)，线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为Z. (1)求轨迹Z的方程； (2)过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线Z于D，E，F，G四个点，求|DE|＋|FG|的取值范围． 解：(1)连接PB，依题意得|PB|＝|PM|， 所以|PB|＋|PA|＝|AM|＝8|AB|， 所以点P的轨迹Z是以A，B为焦点，4为长半轴长的椭圆， 所以a＝4，c＝2，则b＝2. 所以轨迹Z的方程是＋＝1. (2)当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时， |DE|＋|FG|＝6＋8＝14； 当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为y＝k(x－2)，D(x