线性代数第2讲教学教案.pptVIP

线性代数第2讲;§1.3 行列式的性质;将行列式D的行与列互换后得到的行列式, 称为D的转置行列式, 记为D或DT. 即如果;证: 记D的一般项为;由此性质知, 行列式的行具有的性质, 它的列也具有相同的性质.;记D的一般项中n个元素的乘积为;由于排列1…i…s…n与排列1…s…i…n的奇偶性相反, 所以;推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同, 则此行列式的值为零.因为将行列式D中具有相同元素的两行互换其结果仍是D, 但由性质2可知其结果应为-D, 因此D=-D, 所以D=0.;性质3 用数k乘行列式的某一行(列), 等于以数k乘此行列式, 即如果D=|aij|, 则;证: 因为行列式D1的一般项为;推论1 如果行列式某行(列)的所有元素有公因子, 则公因子可以提到行列式外面.推论2 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例, 则行列式的值等于零.;性质4 如果将行列式中的某一行(列)的每一个元素都写成两个数的和, 则此行列式可以写成两个行列式的和, 这两个行列式分别以这两个数为所在行(列)对应位置的元素, 其它位置的元素与原行列式相同.;即如果;证: 因为D的一般项是;推论 如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和, 则此行列式可以写成m个行列式的和.;性质5 将行列式某一行(列)的所有元素同乘以数k后加于另一行(列)对应位置的元素上, 行列式的值不变.;证: 设;以数k乘D的第s行各元素后加于第i行的对应元素上, 得;因此可得;§1.4 行列式按行(列)展开;(一)行列式按某一行(列)展开定义1.3 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后, 余下的n-1阶行列式, 称为D中元素aij的余子式, 记为Mij;即;例如, 四阶行列式;a13的代数余子式;定理1.4 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和, 即 D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin (i=1,2,…,n)或 D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj (j=1,2,…,n);证:(1) 首先讨论D的第一行中的元素除a11?0外, 其余元素均为零的特殊情形, 即;因为D的每一项都含有第一行中的元素, 但第一行中仅有a11?0, 所以D仅含有下面形式的项:;(2) 其次讨论行列式D中第i行的元素除aij?外, 其余元素均为零的情形, 即;将D的第i行依次与第i-1,…,2,1各行交换后, 再将第j列依次与第j-1,…,2,1各列交换, 共经过i+j-2次交换D的行和列, 得;(3) 最后讨论一般情形;最后得;显然这一结果对任意i=1,2,…,n均成立.同理可证将D按列展开的情形.;定理1.5 n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零, 即 ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0 (i?s)或 a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0 (j?t)证: 设将行列式D中第s行元素换为第i行(i?s)的对应元素得到D1, 则D1两行相同, 因而D1=0, 再将D1按s行展开, 则 D1=ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0 (i?s)同理, 可证D1按列展开的情形.;综合上面两个定理的结论, 得到;例1. 分别按第一行与第二列展开行列式;解: (1)按第一行展开;(2)按第二列展开;例2. 计算行列式;;所以 D=3?19+1?(-63)+(-1)?18+0?(-10)=-24;计算行列式时, 可以先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开, 变为低一阶的行列式, 如此继续下去, 直到化为三阶或二阶行列式.;如例2中的行列式;;作业习题一(A) 第36页开始第13，14，31题