线性代数第4讲教学文稿.pptVIP

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2018-05-24 发布于天津
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线性代数第4讲;§1.5 克莱姆法则;我们已经知道二元一次方程组;设;三元一次方程组;它的系数aij(i,j=1,2,?,n)构成的行列式;定理1.7 (克莱姆法则) 线性方程组(1.9)当其系数行列式D?0时, 有且仅有唯一解;证: 以行列式D的第j(j=1,2,?,n)列的代数余子式A1j,A2j,?,Anj分别乘方程组(1.9)的第1,第2,?,第n个方程,;相加后得;上式等号左端xj的系数为D, 其它变元系数为0,右端等于D中第j列元素被b1,b2,?,bn替换后的行列式Dj, 即 Dxj=Dj (j=1,2,?,n) (1.12); Dxj=Dj (j=1,2,?,n) (1.12)如果方程组(1.9)有解, 则其解必满足方程组(1.12), 而当D?0时, 方程组(1.12)只有形式为(1.11)的解;先代入第1个方程:;代入第j个方程:;综上所述, 于是得到:当方程组(1.9)的系数行列式D?0时, 有且仅有唯一解;例1. 解线性方程组;解: 计算行列式;;;;;;;;;;所以;如果线性方程组(1.9)的常数项均为零, 即;定理1.8 如果齐次线性方程组(1.13)的系数行列式D?0, 则它仅有零解.;;定理1.8 如果齐次线性方程组(1.13)的系数行列式D?0, 则它仅有零解.这个定理也可以说成: 如果齐次线性方程组(1.13)有非零解, 则它的系数行列式D=0. 以后还可以证明: 如果D=0, 则方程组(1.13)有非零解.;例2 判定齐次线性方程组;解: 计算系数行列式;所以方程组仅有零解.;例3. 如果下列齐次线性方程组有非零解, k应取何值?;解:;如果方程组有非零解, 则D=0, 即k=1.;作业习题一(A), 第42页开始第40题第(1)小题第42，43，44题