线性代数第5讲教学文稿.pptVIP

线性代数第5讲;第二章 矩阵;§2.1 矩阵的概念矩阵是数学中一个重要内容, 也是经济研究和经济工作中处理线性经济模型的重要工具.;例1. 设有线性方程组;这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的矩形阵列如下:;这个排成4行4列的产值阵列;例3. 生产m种产品需用n种材料, 如果以aij表示生产第i种产品(i=1,2,?,m)耗用第j种材料(j=1,2,?,n)的定额, 则消耗定额可以用一个矩形表表示, 如表2-2:;表2.2;这个由m行n列构成的消耗定额阵列;由例2, 例3可以看出, 这种阵列在经济领域中是会常常遇到的, 这种矩形阵列称为矩阵.;定义2.1 由m?n个数aij(i=1,2,?,m; j = 1, 2,?,n)排列成的一个m行n列的矩形表, 称为一个m?n矩阵, 记作;一般情形下, 用大写黑体字母A,B,C,?表示矩阵. 为了标明矩阵的行数m和列数n, 可用Am?n表示, 或记作(aij)m?n.所有元素均为0的矩阵, 称为零矩阵, 记作O.所有元素均为非负数的矩阵, 称为非负矩阵.如果矩阵A=(aij)的行数与列数都等于n, 则称A为n阶矩阵(或称n阶方阵).;注意: n阶矩阵仅仅是由n2个元素排成的一个正方形, 而与n阶行列式不同. 一个由n阶矩阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式, 称为矩阵A的行列式, 记作|A|或detA.;定义2.2 如果两个矩阵A,B有相同的行数与相同的列数, 并且对应位置上的元素均相等, 则称矩阵A与矩阵B相等, 记为A=B. 即如果A=(aij)m?n, B=(bij)m?n, 且aij=bij aij(i=1,2,?,m; j = 1, 2,?,n), 则A=B.;§2.2 矩阵的运算矩阵的意义不仅在于将一些数据排成阵列形式, 而且在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算. 从而使它成为进行理论研究或解决实际问题的有力工具.;(一)矩阵的加法与矩阵的乘法定义2.3 两个m行n列矩阵A=(aij), B=(bij)对应位置元素相加得到的m行n列矩阵, 称为矩阵A与矩阵B的和, 记为A+B. 即 A+B=(aij)m?n+(bij)m?n=(aij+bij)m?n, (2.2);例1. 有某种物质(单位:吨)从3个产地运往4个销地, 两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B,;则从各产地运往各销地两次的物资调运量共为;定义2.4 以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵, 称为数k与矩阵A的积, 记作kA. 如果A=(aij)m?n, 那么 kA=k(aij)m?n=(kaij)m?n, (2.3);例2. 设3个产地与4???销地之间的里程(单位: 公里)为矩阵A,;;把矩阵A=(aij)m?n中各元素变号得到的矩阵, 称为A的负矩阵, 记作-A, 即 -A=(-aij)m?n ;由上面定义的矩阵加法, 数与矩阵的乘法, 不难得到下面的运算律.设A, B, C, O都是m?n矩阵, l,k是数, 则(1) A+B=B+A(2) (A+B)+C=A+(B+C)(3) A+O=A(4) A+(-A)=O从(3),(4)可见, 零矩阵O在矩阵加法运算中与数0在数的加法运算中有同样的性质.;(5) k(A+B)=kA+kB(6) (k+l)A=kA+lA(7) (kl)A=k(lA)(8) 1?A=A;由矩阵加法及负矩阵, 可以定义矩阵减法: A-B=A+(-B)即, 如果A=(aij)m?n, B=(bij)m?n,则 A-B=A+(-B) =(aij)m?n+(-bij)m?n =(aij-bij)m?n (2.5);例3. 已知;解:;例4. 已知;;例5. 设A=(aij)为三阶矩阵, 若已知|A|=-2, 求;解: 由已知|A|=-2,;(二)矩阵的乘法;例1. 某地区有4个工厂I,II,III,IV, 生产甲,乙,丙3种产品, 矩阵A表示一年中各工厂生产各种产品的数量, 矩阵B表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元), 矩阵C表示各工厂的总收入及总利润.;单位 单位 价格 利润;则矩阵A,B,C的元素之间有下列关系:;其中 cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j (i=1,2,3,4; j=1,2)即矩阵C中第i行第j列的元素等于矩阵A第i行元素与矩阵B第j列对应元素乘积的和.;;;如果分别记上述坐标变换公式的系数矩阵为A=(aik), B=(bkj), C=(cij), 则各矩阵元素之间的关系为 cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j (i,j=1,2,3)即矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元