第9单元第53讲 空间角及其计算教程文件.pptVIP

第53讲 空间角及其计算;例1如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的 底面ABCD为平行四边形，其中AB= ，BD=BC=1， =2，E为DC的中点，F是棱DD1上的动点. (1)求异面直线AD1与BE所 成角的正切值； (2)当DF为何值时,EF与BC1 所成的角为90°?;分析:依异面直线所成角的定义或推理寻 找或平行移动作出异面直线所成角对应 平面角.;又底面ABCD⊥侧面DCC1D1 BD=BC E为CD的中点  BE⊥侧面DCC1D1 BE⊥EC1. 在Rt△BEC1中，BE= = ， EC1= = ， 所以tan∠EBC1= =3.;(2)当DF= 时,EF与BC1所成的角为90°. 由（1）知，BE⊥侧面DCC1D1 BE⊥EF. 又DE=EC= ，CC1=AA1=2. 当DF= 时， 因为 = = ， = = ，;所以△DEF∽△CC1E， 所以∠DEF+∠CEC1=90°， 所以∠FEC1=90°，即FE⊥EC1. 又EB∩BC1=E，所以EF⊥平面BEC1，所以EF⊥BC1, 即EF与BC1所成的角等于90°.;方法2：由BC2+BD2=DC2可知BD⊥BC，分别以BD、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 则B(0,0,0),A(1,-1,0),D(1,0,0), D1(1,0,2),C(0,1,0),C1(0,1,2), E( ， ,0).; 所以sin〈 ， 〉= , 所以tan〈 ， 〉=3， 即AD1与BE所成的角的正切值为3. (2)设F(1,0,q)，则 =( ，- ,q). 又 =(0,1,2)， 由 · = ×0- ×1+q·2=0，得q= ， 即DF= 时，EF⊥BC1.;评析：异面直线所成角的求法有传统的构造法和空间向量法两种，解题可依据问题情境恰当选用. ;D;例2如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2， E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平 面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE。 (1)求证：BE⊥平面ADE，并求AB与 平面ADE所成的角的大小； (2)求BD与平面CDE所成角的正弦值.;解析：(1)在矩形ABCD中，连接BE， 因为AB=2AD，E为CD的中点， 所以AD=DE，∠EAB=45°， 从而∠EBA=45°，故AE⊥EB. 过D作DO⊥AE于O. 因为平面ADE⊥平面 ABCE， 所以DO⊥平面ABCE，所以DO⊥BE. 又AE∩DO=O，所以BE⊥平面ADE. 可知AE为AB在平面ADE上的射影， 从而∠BAE为AB与平面ADE所成的角,大小为45°.;(2)由(1)可知，DO⊥平面ABCE，BE⊥AE，过O作OF∥BE，以O为原点，OA、OF、OD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0, ),E(- ,0,0),B(-2,2 ,0), C(-2 ,2,0).;设平面CDE的法向量n=(x,y,z). 又 =(2 ,- ,2)， =( ,- ,0)， n· =2 x- y+ z=0 z=-x n· = x- y=0 y=x. 取x=1，得n=(1,1,-1). 又 =(- ,2 ,- )， cos〈n, 〉= = . 则BD与平面CDE所成角的正弦值为 .; 评析： 本例的求解策略说明，若方便获知直线在平面内的射影，则可用传统的构造法求直线与平面所成的角；若找直线在平面内的射影较难，则可用向量法求直线和平面所成的角.;题型三 二面角; 评析： (1)求二面角的平面角的直接作法是利用三垂线定理，在一个平面内找一点，过此点作另一个平面的垂线．若题目中有两个互相垂直的面，其中一个为二面角的