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上述解的线性组合便构成了拉普拉斯方程的通解 1.5.2圆柱坐标系中的平行平面场问题设电位函数为?(?，?)，满足拉普拉斯方程： 第 一 章 静 电 场 * 第 一 章 静 电 场 * 第 一 章 静 电 场 * 1.4 边值问题、惟一性定理 1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程 (Poisson’s Equation and Laplace’s Equation) 泊松方程 —拉普拉斯算子 Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem 拉普拉斯方程 当r =0时 下 页 上 页 返 回 1.4.2 边值问题（Boundary Problem) 边值问题 微分方程 边界条件 初始条件 场域边界条件(待讲） 分界面衔 接条件 强制边界条件 有限值 自然边界条件 有限值 泊松方程 拉普拉斯方程 下 页 上 页 返 回 场域边界条件 1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet) 2）第二类边界条件（诺依曼条件 Neumann) 3）第三类边界条件 已知边界上电位及电位法向导数的线性组合 已知边界上导体的电位 已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或 电力线) 下 页 上 页 返 回 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 积分方程法 积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法 计算法 实验法 解析法 数值法 实测法 模拟法 边 值 问 题 下 页 上 页 返 回 例1.4.2 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。 解：根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题 （阴影区域） 下 页 上 页 返 回 图1.4.1 缆心为正方形的 同轴电缆 通解 例1.4.3 试求体电荷产生的电位及电场。 解：采用球坐标系,分区域建立方程 边界条件 参考电位 下 页 上 页 返 回 图1.4.2 体电荷分布的球体 电场强度（球坐标梯度公式）： 得到 图1.4.3 随r变化曲线 下 页 上 页 返 回 答案:（C ） 1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theorem) 例1.4.4 图示平板电容器的电位，B为参考电位，哪一个解答正确？ 惟一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。 下 页 上 页 返 回 图1.4.4 平板电容器外加电源U0 2. 静电场解的唯一性证明 设V 中存在两个电位函数 ?1和?2 ，在给定第一类或第二类边值时，均满足泊松方程，即 令 ?1-?2 = u，显然 对已知的任意连续可导的标量函数 ? ，有高斯定理应有 无论对于第一类边界还是第二类边界，均有 因 不为负值，在整个场域内必有 由此得证 ?1 = ?2 ，即只有唯一可能的解答。 1.5 分离变量法 分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得到微分方程的通解， 当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。 Separation Variable Method 下 页 上 页 返 回 当待求电位函数是二个或三个坐标变量的函数时，分离变量法是直接求解偏微分方程定解问题的一种经典方法。 1.5.1 解题的一般步骤： 解常微分方程，并叠加得到通解； 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程； 直角坐标系中分离变量法 代入拉普拉斯方程，整理得 设电位函数为?(x，y)，满足拉普拉斯方程： 设电位函数有分离变量形式，即 ?(x，y) =X(x)Y(y) 显然，上式两边在x和y取任意值时恒成立，即等式两边应该恒为同一常数。记该常数(常称为分离常数)为kn，这样，上式即转化为两个常微分方程 式中，分离常数若kn=0 时, 则解是 当 时 X(x)=Anchknx + Bnshknx；Y(y)=Cncoskny + Dnsinkny 或： X(x)=Ancosknx + Bnsinknx； Y(y)=Cnchkny + Dnshkny 通解 例1.5.1 试求长直接地金属槽内电位的分布。 解: 边值问题 1.5.2 应用实例 1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场） （D 域内） 下 页 上 页 返 回 图1.5.1 接地金属槽的截面 分离变量 设 -分离常数, 代入微分方程， 下 页 上 页 返 回 代入