与数列相关的不等式证明问题.docVIP

与数列不等式证明数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和先求和再放缩 1．已知数列{}的前项和. (1) 求数列{}的通项公式； (2) 设，数列{}的前 n 项和，求证：当时，. 解：(1)时，, ∴. 当时，，∴．∴通项公式 (2)当时，，∴； 时，，∴ ， ∴． 随着的增大而增大，∴. ∴ 当时，． 2．位于函数的图象上的一系列点,这一系列点的横坐标构成以为首项,为公差的等差数列. (１)求点的坐标； (２)设抛物线中的每一条的对称轴都垂直于轴,对于第条抛物线 的顶点为,抛物线过点,且在该点处的切线的斜率为. 求证:. 解: (１)由于的横坐标构成以为首项,为公差的等差数列, 故. 又位于函数的图象上, 所以. 所求点的坐标为(. (２)证明:由题意可设抛物线的方程为, 即. 由抛物线过点,于是有. 由此可得. 故. 所以, 于是 . 即. （二）先放缩再求和已知不等式其中为不大于2的整数，表示不超过的最大整数设数列的各项为正且满足，证明：，：由条件得： ，，…，． 以上各式两边分别相加得： =　， 　． 点评：本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明设,函数ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u （Ⅰ）证明:存在唯一实数，使； ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u （Ⅱ）定义数列,,. （i）求证:对任意正整数n都有； (ii) 当时, 若， 证明:对任意都有:. 证明:对任意都有:. （Ⅰ）证明: ①. 令,则,, ∴. 又,∴是R上的增函数. 故在区间上有唯一零点, ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u 即存在唯一实数使. ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ②当时, ,,由①知,即成立； 设当时, ,注意到在上是减函数,且, 故有:,即 ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ∴, 即.这就是说,时,结论也成立. 故对任意正整数都有:. (2)当时,由得:,