空间向量及其运2.docVIP

空间向量及其运算(二) 教学目标：掌握空间向量基本定理和两个向量的数量积 教学过程： 复习 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 空间向量的运算 =a+b，（指向被减向量），λa 运算律：⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律： 3.共线向量（平行向量） （1）概念：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b,记作a∥b （2）共线向量定理： 对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb。 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 a ① 其中向量a叫做直线l的方向向量。 ，或 ①或②式都叫做空间直线的向量参数方程 4．共面向量 （1）概念：平行于同一平面的向量，叫做共面向量。 (2)共面向量定理:如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是，存在实数对x、y，使=x+y 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使=x+y 或对空间任一点O，有=+x+y 新课 1、空间向量基本定理 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使=x+y+z,叫做空间的一个基底，、、叫基向量 证明：设、、不共面，过点O作，过点P作直线平行OC，交平面OAB于点;在平面OAB内,过作直线,分别与直线OA、ＯＢ相交于点所以存在实数x,y,z使 所以（唯一性略） 推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使 例1 已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN，用基向量 表示向量 解： 2、两个向量的数量积 （1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O,作,则 叫向量与的夹角 .记作, 规定0,,则,=, ,=,称与互相垂直,记作 (2)模(长度):设 有向线段的长度叫向量的长度或模,记作 (3) 数量积: (4)射影:已知轴l上与l同方向的单位向量，作点Ａ在l上的射影，作点Ｂ在l上的射影，则叫向量在轴l上或在方向上的正射影，简称射影 （５）.空间向量数量积的性质: ① ② ③ （６） 空间向量数量积的运算律 ① ② (交换律) ③(分配律) 例２ 已知:m.n是平面内的两条相交直线,直线l与的交点为B，且 求证： 证明：在内作不与m.n重合的任一直线g，在l、m、n、g上取非零向量，不平行，存在唯一的实数（x,y）使 例３ 已知：在空间四边形OABC中， 求证： 证明：已知得 变式：在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，，求OA与BC所成角的余弦值（） 例４ 已知线段AB在平面内,线段线段线段,,如果AB=a,AC=BD=b,求C、D间的距离 解：已知得 例５已知在平行六面体中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，求的长 解： 小结 空间向量基本定理 两个向量的数量积、性质和运算律 作业P36 3 4 5