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微分方程 一、齐次方程 例1. 解微分方程 例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的 二、可化为齐次的方程 三、小结 * 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 1.定义 例 1 求解微分方程 微分方程的解为 解 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 此处 例2 求解微分方程 例3 求解微分方程 例4 P310 / 3 例 2 求解微分方程 解 微分方程的解为 思路: 将光源所在点取 按聚光性能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点 O 处 形状由xOy坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成, 发出的一切光线，经它反射后都与旋转轴平行. 求 曲线 L 的方程. 作坐标原点, 并设 可建立微分方程 由光的反射定律: 可得 ?OMA = ? OAM = ? 入射角 = 反射角 从而 AO = OM 而 AO 于是得微分方程 : 积分得 故有 得 (抛物线) 故反射镜面为旋转抛物面. 于是方程化为 (齐次方程) 例 3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 得微分方程 由夹角正切公式得 分离变量 积分得 平方化简得 抛物线 为齐次方程. （其中h和k是待定的常数） 否则为非齐次方程. 2.解法 1.定义 有唯一一组解. 得通解代回 未必有解, 上述方法不能用. 可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程. 可分离变量. 解 代入原方程得 分离变量法得 得原方程的通解 方程变为 例5 求解微分方程 解 令 再令 两边积分后得 变量还原得 例6 求解微分方程 解 令 令 令 两边同时积分得 变量还原后得通解 利用变量代换求微分方程的解 解 代入原方程 原方程的通解为 齐次方程 齐次方程的解法