2009-2010第一学期试题物理A.docVIP

武汉大学数学与统计学院 2009-2010第一学期《微积分A1》期末考试试题 一、（42分）试解下列各题： 1、计算 ; 2、计算; 3、计算; 4、计算; 5、求曲线自至一段弧的长度; 6、设，求. 二、（8分）已知，其中由方程确定，求. 三、（8分）设,，试证明数列收敛，并求. 四、（15分）已知函数，求： 1、函数的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。 （五题图） 五、（12分）1、在曲线（）的点处作一切线，使之与曲线、轴所围平面图形的面积为，试求：（1）切点的坐标；（2）由上述所围图形绕轴旋转一周所得立体的体积。 2、一个5公斤的漏桶通过以常速率拉一条20米长的绳子从地面升至空中（如图），绳重0.08公斤/米，开始时桶中装16公斤的水并以常速率漏水，桶到顶时水刚好漏完，求在整个过程消耗的功是多少？ 六、（10分）设在上连续，在内可导，且，证明： （1）存在，使; （2）对任意实数，必存在，使. 七、（5分）设为实数，函数满足下列两个等式：，求证： ，. 武汉大学数学与统计学院 2009—2010第一学期《微积分A1》期末考试试题参考答案 （42分）试解下列各题： 1、解：原极限= 2、解：原积分 3、解：原式= 4、解： 5、解： 6、解： 二、（8分）解： ，方程两边微分得： 故有 三、（8分）解：, ，因此 设， 单调增加，且,故存在 设，则: 解得 .因为非负， ∴ 四、（15分）解：定义域为 令驻点 ，不可导点 故单调增加区间为： ，单调减少区间为： 极小值为：，无极大值。 2）下凸区间为： ，无拐点，由，故为函数图形的铅直渐近线。 又 故为函数图形的斜渐近线。 五、（12分）解：（1）设切点B的坐标为，则过点B的切线斜率为，于是切线方程为，和轴交点为，由，得a=1，因此切点坐标为(1,1)。 （2） 2、在高度处的绳、桶、水的总重是： 故消耗的功为：公斤米 六、（10分）证明：（1）令，则 故，使得，即 （2）设，则 ， 由罗尔定理：，即 即 七、（5分）证：应用泰勒公式，我们有： （1） （2） 分别得： （3） （4） 当 ，所以有：， 。 1