三角函数之解三角形.docxVIP

三角函数之解三角形（取值范围）1.（2017?葫芦岛一模）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．1.【解答】解：（1）由题意可得：=3+sin2A+cos2A+1=4+2sin（2A+），∴sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴2A+∈（，），∴2A+=，∴A=．（2）由余弦定理可得：，即4=b2+c2﹣bc≥bc（当且仅当b=c=2时“=”成立），即bc≤4，∴，故△ABC面积的最大值是．2.（2017?长春三模）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．2.【解答】解：（1）∵，∴，∴当时，f（x）取得最小值2．（2）∵f（A）=4，∴，又∵BC=3，∴，∴9=（b+c）2﹣bc．，∴，∴，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为．3.2016?邵阳二模）已知f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x），x∈R（1）求函数f（x）的单调递增区间（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=﹣，a=3，求△ABC面积的最大值．3.【解答】解：（1）f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x）=cos2x﹣2cosxsinx=cos2x﹣sin2x=﹣2sin，由+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得kπ+≤x≤+kπ，因此函数f（x）的单调递增区间为：[kπ+， +kπ]，k∈Z．（2）f（A）=﹣，可得sin=，∵，∴∈，∴ =．解得A=．由余弦定理可得：≥2bc﹣bc=bc，可得bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号．∴S△ABC=sinA≤．∴当且仅当a=b=c=3时，△ABC面积取得最大值．4.在△ABC中，2cos2A+3=4cosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC的周长l的取值范围．4.【解答】解：（1）因为2cos2A+3=4cosA，所以，所以4cos2A﹣4cosA+1=0，所以．又因为0＜A＜π，所以．（2）因为，，a=2，所以，所以．因为，所以．又因为，所以，所以l∈（4，6]．5.设a，b，c分别是△ABC三个内角∠A，∠B，∠C的对边，若向量，，且．（1）求tanA?tanB的值；（2）求的最大值．5.【解答】解：（1）由得，，即4cos（A﹣B）=5cos（A+B），解得，．（2）因为=，又=，所以，tan（A+B）有最小值，当且仅当时，取得最小值．又tanC=﹣tan（A+B），则tanC有最大值，故的最大值为．6.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosA，ccosA成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若a=3，，求的最大值．6.【解答】解：（1）∵由题意知2bcosA=acosC+ccosA，由正弦定理知sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，∴sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，又∵sinB≠0，∴，∴．（2）∵，∴=（）=（c2+b2+2cbcosA）=（c2+b2+cb），又∵由余弦定理可得：a2=c2+b2﹣2cbcosA=c2+b2﹣cb=9，∴，∵由c2+b2﹣cb=9≥2cb﹣cb=cb，当且仅当c=b时取等号，∴，∴的最大值为．7.已知函数f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a的取值范围．7.【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得函数f（x）的单调增区间[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），函数f（x）的最大值为2．当且仅当sin（2x+）=1，即2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时取到．所以函数最大值为2时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．…（2）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简得sin（2A+）=．∵A∈（0，π），∴2A+=，∴A=．在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc．由b+c=2，知bc≤1，即a2≥1．∴当b=c=1时，取等号．又由b+c＞a得a＜2．所以a的取值范围是[1，2 ）．…8.在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且a=1，．（Ⅰ）当，求角C的大小；（Ⅱ）求△ABC面积最大值．8.【解答】解：（Ⅰ）∵a=1，A=，b=，∴由正弦定理可得：sinB===，又∵B∈（0，