2019版高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用讲义：第三章+导数及其应用+专题探究课一+Word版含答案.docVIP

高考导航　1.函数与导数作为高中数学的核心内容，是历年高考的重点、热点，试题主要以解答题的形式命题，能力要求高，属于压轴题目；2.高考中函数与导数常涉及的问题主要有：(1)研究函数的性质(如单调性、极值、最值)；(2)研究函数的零点(方程的根)、曲线的交点；(3)利用导数求解不等式问题(证明不等式、不等式的恒成立或能成立求参数的范围). 热点一　利用导数研究函数的性质 以含参数的函数为载体，结合具体函数与导数的几何意义，研究函数的性质，是高考的热点、重点.本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围. 【例1】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x). (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求实数a的取值范围. 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a. 若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0； 当x∈时，f′(x)＜0， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减. 综上，知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减. (2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值； 当a＞0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f ＝ln ＋a＝－ln a＋a－1. 因此f ＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0. 令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增， g(1)＝0. 于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0. 因此，实数a的取值范围是(0，1). 探究提高　(1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)0或f′(x)0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题. (2)若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解. 【训练1】 设f(x)＝－x3＋x2＋2ax. (1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围； (2)当0＜a＜2时，f(x)在[1，4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值. 解　(1)f′(x)＝－x2＋x＋2a， 由题意得，f′(x)0在上有解， 只需f′0，即＋2a＞0， 得a＞－. 所以，当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间. (2)已知0＜a＜2，f(x)在[1，4]上取到最小值－，而f′(x)＝－x2＋x＋2a的图象开口向下，且对称轴x＝，∴f′(1)＝－1＋1＋2a＝2a＞0，f′(4)＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0，则必有一点x0∈[1，4]，使得f′(x0)＝0，此时函数f(x)在[1，x0]上单调递增，在[x0，4]上单调递减， f(1)＝－＋＋2a＝＋2a＞0， ∴f(4)＝－×64＋×16＋8a＝－＋8a＝－?a＝1. 此时，由f′(x0)＝－x＋x0＋2＝0?x0＝2或－1(舍去)，所以函数f(x)max＝f(2)＝. 热点二　利用导数解决不等式问题(教材VS高考) 导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题.归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)求解不等式；(3)不等式恒(能)成立求参数. 命题角度1　证明不等式 【例2－1】 (满分12分)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a0时，证明f(x)≤－－2. 教材探源　本题第(2)问的实质是证明ln＋＋1≤0，是不等式x－1≥ln x的变形，源于教材选修2－2 P32习题B1，是在教材基本框架ex1＋x与x≥1＋ ln x基础上，结合函数性质，编制的优美试题，2016年全国Ⅲ卷T21，2017年全国Ⅲ卷T21有异曲同工之处. 满分解答　(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝. 1分　(得分点1) 若a≥0时，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，2分　(得分点2) 若a0时，则当x∈时，f′(x)0； 当x∈时，f′(x)0. 故f(x)在上单调递增，在上单调递减.5分　(得分点3) (2)证明　由(1)知，当a0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f ＝ln－1－， 所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2， 即ln＋＋1≤0，8分　(得分点4) 设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1. 当x∈(0，1)时，g′(x)0；x∈