2019版高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用讲义：第四章+三角函数+解三角形+第2节+Word版含答案.docVIP

第2节　同角三角函数基本关系式与诱导公式 必威体育精装版考纲　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 知 识 梳 理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan__α. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α 正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 [常用结论与微点提醒] 1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2.同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(　　) (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.(　　) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　) 解析　(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sin α都成立. (4)当k为奇数时，sin α＝， 当k为偶数时，sin α＝－. 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.(2018·成都诊断)已知α为锐角，且sin α＝，则cos (π＋α)＝(　　) A.－ B. C.－ D. 解析　因为α为锐角，所以cos α＝＝，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－，故选A. 答案　A 3.已知sin＝，那么cos α＝(　　) A.－ B.－ C. D. 解析　∵sin＝sin＝cos α，∴cos α＝.故选C. 答案　C 4.(必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则的值为________. 解析　原式＝＝＝3. 答案　3 5.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________. 解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝. 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 又∵θ∈，∴sin θ－cos θ＝－. 答案　－ 考点一　同角三角函数基本关系式的应用 【例1】 (1)(2018·兰州测试)已知sin αcos α＝，且α，则cos α－ sin α的值为(　　) A.－ B. C.－ D. (2)(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　) A. B. C.1 D. 解析　(1)∵α， ∴cos α0，sin α0且cos αsin α， ∴cos α－sin α0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝， ∴cos α－sin α＝. (2)tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝. 答案　(1)B　(2)A 规律方法　1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化. 2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. 3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 【训练1】 (1)若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　) A. B. C. D.－2 (2)(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈，tan α＝2，则cos＝________. 解析　(1)3sin α＋cos α＝0?cos α≠0?tan α＝－，＝＝ ＝＝. (2)由tan α＝2得sin α＝2 cos α， 又sin 2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝. 因为α∈，所以cos α＝，sin α＝. 因为cos＝cos αcos ＋sin αsin ， 所以cos＝×＋×＝. 答案　(1)A　(2) 考点二　诱导公式的应用 【例2】 (1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　) A.{1，－1，2，