2019版高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用讲义：第四章+三角函数+解三角形+第5节+Word版含答案.docVIP

第5节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 必威体育精装版考纲　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式但对这三组公 知 识 梳 理 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (α±β)＝ cos(α?β)＝ tan(α±β)＝ 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ＝2__α. cos 2α＝－＝2－1＝1－2 tan 2α＝ 3.函数f(α)＝a＋b(a，b为常数)可以化为f(α)＝(α＋φ)或f(α)＝(α－φ) [常用结论 1.tan α±tan β＝(α±β)(1?tan αtan β). 2.cos2α＝＝ 3.1＋＝(＋)2，1－＝(－)2， sin α±cos α＝sin 诊 断 自 测 思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α是任意的.(　　) (2)存在实数α使等式(α＋β)＝＋成立.(　　) (3)公式(α＋β)＝可以变形为＋ ＝(α＋β)(1－)，且对任意角α都成立.(　　) (4)存在实数α使＝2(　　) 解析　(3)变形可以但不是对任意的α都成立＋β≠＋kZ. 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2(2017·全国Ⅲ卷)已知sin－＝则＝(　　) －－ D. 解＝2＝＝－ 答案　 3.(2016·全国Ⅲ卷)若＝－则＝(　　) －－ D. 解析　＝－＝＝＝ 答案　 4.(必修4P146A4(2)改编)＋＋＝________ 解析　∵＝(20°＋40)＝ ∴tan 20°＋＝(1－) ＝－ ∴原式＝－＋＝ 答案　 (必修4(5)改编)＋cos 58°＝________. 解析　＋ ＝(270°＋77)cos(90°＋58)＋ ＝(－)·(－)＋ ＝＋ ＝sin(58＋77)＝＝ 答案　 考点一　三角函数式的化简 【例1】 (1)(必修4(7))化简：(α＋β)(γ－β)－(β＋α)(β－γ)＝________ (2)化简：(0α)＝________ 解析　(1)(α＋β)(γ－β)－(β＋α)(β－γ) ＝(α＋β)(β－γ)－(α＋β)(β－γ) ＝[(α＋β)－(β－γ)]＝(α＋γ). (2)原式＝ ＝＝ 因为0α所以0，所以0，所以原式＝ 答案　(1)(α＋γ)　(2) 规律方法　三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系把角进行合理的拆分正确使用公式；二看函数名称之间的差异确定使用的公式常见的有“切化弦”；三看结构特征找到变形的方向常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等. 1】 (1)(α＋β)＋(α＋β)＝(　　) (α＋2β) .sin α C.cos(α＋2β) .cos α (2)化简：＝________ 解析　(1)(α＋β)＋(α＋β)＝[(α＋β)－β]＝ (2)原式＝ ＝＝ ＝＝ 答案　(1)　(2) 考点二　三角函数式的求值 【例2】 (1)[2＋(1＋)]·＝________ (2)(2018·洛阳一模)若＝则＝________ (3)已知α(0，π)，且(α－β)＝，则2α－β的值为________ 解析　(1)原式＝ sin 80°＝(2＋2)· cos 10°＝2[＋°·cos(60°－10)] ＝2(50°＋10)＝2＝ (2)依题意得＝－＝－＝2－1＝2×－1＝－ (3)∵tan α＝[(α－β)＋β]＝ ＝＝又α∈(0)， ∴0α，又∵＝＝＝ ∴02α， ∴tan(2α－β)＝＝＝1. ＝－βπ，－－β0 ∴2α－β＝－ 答案　(1)　(2)－　(3)－ 规律方法　1.已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)最后将已知条件及其变形代入所 2.通过求角的某种三角函数值来求角在选取函数时遵照以下原则：(1)已知正切函数值选正切函数；(2)已知正、余弦函数值选正弦或余弦函数；若角的范围是选正、余弦皆可；若角的范围是(0)，选余弦较好；若角的范围为选正弦较好. 【训练2】 (1)(2018·湖南十三校联考)已知x∈(0)，且＝则＝(　　) B.－－3 (2)(一题多解)2018·石家庄质检)已知α∈＝－则＝________ 解析　(1)由＝得＝ ∵x∈(0，π)，∴tan x＝2＝＝ (2)法一　因为α∈所以α＋， 所以＝所以＝ ＝cos＋sin＝－＋＝ 法二　＝－＝－＝－，解得＝ 答案　(1)　(2) 考点三　三角变换的简 【例3】 已知△ABC为锐角三角形若向量p＝(2－2＋)与向量q＝(－＋)是共