2019版高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用讲义：第四章+三角函数+解三角形+第7节+Word版含答案.docVIP

第7节　解三角形应用举例 必威体育精装版考纲　能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题. 知 识 梳 理 仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方叫仰角目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2). 方向角：正北或正南方向线与目标方向线30°，北偏西45等. 坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. [常用结论与微点提醒] 不要搞错各种角的含义不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 在实际问题中可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题这时最好画两个图形一个空间图形一个平面图形这样处理起来既清楚又不容易出现错误.诊 断 自 测 .思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45的方向.(　　) (2)从A处望B处的仰角为α从B处望A处的俯角为β则α的关系为α＋β＝180(　　) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角其范围为(　　) (4)方位角与方向角其实质是一样的均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(　　) 解析　(2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2若点A在点C的北偏东30点B在点C的南偏东60且AC＝BC则点A在点B的(　　) 北偏东15北偏西15 C.北偏东10北偏西10 解析　如图所示＝90 又AC＝BC ∴∠CBA＝45而β＝30 ∴α＝90－45－30＝15 ∴点A在点B的北偏西15 答案　 3.(必修5改编)如图所示设A两点在河的两岸一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C测出AC的距离为50 m＝45＝105后就可以计算出A两点的距离为(　　) m B.50 m C.25 m D. m 解析　由正弦定理得＝ 又∵B＝30＝＝＝50(). 答案　 4.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C两船航行方向的夹角为120两船的航行速度分别为25 则下午2时两船之间的距离是______ 解析　设两船之间的距离为d 则d2＝50＋30－2×50×30×＝4 900 ∴d＝70即两船相距70 答案　70 .(2014·全国Ⅰ卷)如图所示为测量山高MN选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60点的仰角∠CAB＝45以及∠MAC＝75；从C点测得∠MCA＝60已知山高BC＝100 则山高MN＝________ 解析　在中＝45＝100 所以AC＝100 在△AMC中＝75＝60 从而∠AMC＝45 由正弦定理得＝因此AM＝100 在中＝100＝60 由＝得MN＝100＝150 答案　150 考点一　测量高度问题 【例1】 如图所示一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上行驶600 后到达B处测得此山顶在西偏北75的方向上仰角为30则此山的高度CD＝________ 解析　ABC中＝600＝30＝75－30＝45由正弦定理得＝即＝所以BC＝300().在中＝30 CD＝BC＝300＝(m). 答案　100 规律方法　1.在处理有关高度问题时要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. 在实际问题中可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题这时最好画两个图形一个空间图形一个平面图形这样处理起来既清楚又不容易搞错. 注意山或塔垂直于地面或海平面把空间问题转化为平面问题. 【训练1】 如图所示为了估测某塔的高度在同一水平面的A两点处进行测量在点A处测得塔顶C在西偏北20的方向上仰角为60；在点B处测得塔顶C在东偏北40的方向上仰角为30若AB两点相距130 求塔的高度CD. 解　设CD＝h则AD＝＝ 在△ADB中＝180－20－40＝120 ∴由余弦定理AB2＝BD＋AD－2BD·AD· 可得130＝3h＋－2··， 解得h＝10故塔的高度为10(). 考点二　测量距离问题 【例2 如图两点在河的同侧且A两点均不可到达要测出AB的距离测量者可以在河岸边选定两点C测得CD＝a同时在C两点分别测得∠BCA＝α＝βB＝γ＝δ.在△ADC和△BDC中由正弦定理分别计算出AC和BC再在△ABC中应用余弦定理计算出AB. 若测得CD＝＝∠CDB＝30＝60＝45A，B两点间的距离. 解　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60＝60 ∴∠DAC＝60＝DC＝(). 在△BCD中＝45由正弦定理 得BC＝＝＝(). 在△ABC中由 AB2＝AC＋BC－2AC·BC ＝＋－2××＝ ∴AB＝().∴A，B两点间的距离为 规律方法　1.选定或确定要创建的三角形首先确定所求量所 2.确定用正