2019版高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用讲义：第四章+三角函数+解三角形+第3节+Word版含答案.docVIP

第3节　三角函数的图象与性质 必威体育精装版考纲　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性. 知 识 梳 理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 [常用结论与微点提醒] 1.对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　) (2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　) (3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　) (4)y＝sin|x|是偶函数.(　　) 解析　(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条. (2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数. (3)当k0时，ymax＝k＋1；当k0时，ymax＝－k＋1. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　) A.4π B.2π C.π D. 解析　由题意T＝＝π. 答案　C 3.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　) A. B.1 C. D. 解析　cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为. 答案　A 4.(2018·长春检测)若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________. 解析　由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝. 答案　 5.(必修4P47B2改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________. 解析　因为y＝tan x的单调递增区间为 (k∈Z)， 所以由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)， 得＋＜x＜＋(k∈Z)， 所以y＝－tan的单调递减区间为 (k∈Z). 答案　(k∈Z) 考点一　三角函数的定义域 【例1】 (1)函数y＝的定义域为________. (2)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________. 解析　(1)要使函数有意义，必须有 即 故函数的定义域为 . (2)函数有意义，则即 解得 所以2kπx≤＋2kπ(k∈Z)， 所以函数的定义域为. 答案　(1) (2) 规律方法　1.三角函数定义域的求法 (1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域. (2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解. 【训练1】 (1)函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　) A. B. C. D. (2)(一题多解)函数y＝的定义域为________. 解析　(1)由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋(k∈Z)，故选D. (2)法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示. 在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为 . 法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). 所以定义域为 . 法三　sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝ sin x的图