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第4讲---实数的运算 【知识要点精讲】 ◆1、无理数—无限不循环小数 常见无理数有三类：（1）开方开不尽的数；如； （2）； （3）无限不循环小数，如：（两个1之间依次多个0） ◆2、实数---有理数、无理数统称为实数。实数与数轴上的点一一对应。 实数 若把实数按正负分可分为： ◆3、二次根式的分母有理化：把一个代数式的分母中的根号化去，叫分母有理化。 （1）最简二次根式的最简有理化因式是，有理化时运用 （2）最简二次根式的最简单的有理化因式是， ★【知识要点及典型例题解析】 【知识要点1】--无理数的概念与判别 【例1】在数，中，无理数有 ；分数有 ； 点拨：带根号的数不一定是无理数、无理数也不一定带根号；判断数要看结果。 ◆目标训练1 、下列叙述中正确的是（ ） 、有理数和数轴上的点是一一对应的； 、最大的实数与最小的实数都是存在的； 、最小的实数是0； 、任意一个实数都可以用数轴上的点来表示； 、在，中无理数有（ ）个 、1个 、2个 、3个 、4个 、下列说法中正确的为（ ） 、带根号的数都是无理数； 、无理数都是无限小数； 、不带根号的数都是有理数； 、小数都是分数； 【知识要点2】----相反数、倒数、绝对值 【例2】 ；一个数的倒数是，这 个数是 ； 【例3】若与互为相反数，与互为倒数，则； 【例4】概念理解辨析 1、两个无理数的和、差仍然是无理数（ ） 2、两个无理数的积、商仍然是无理数（ ） 3、任意有理数与无理数的和、差仍然是无理数（ ） 4、一个有理数与无理数的积一定是无理数（ ） 【知识要点3】----分母有理化（乘积中不含根号的两个式子互为有理化因式） 如：，所以与互为有理化因式； 【例5】把下列各式分母有理化： ①、 ②、 ③、 ④、 ◆目标训练2 1、已知实数满足，则（ ） 、 、 、 、 2、的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 ； 3、绝对值大于而又小于的整数有 个； 4、一个负数的倒数等于它本身，则；若一个数的相反数等于它 本身，则； 5、把下列各式分母有理化： （1） （2） （3） 【知识要点4】---实数的运算 【例6】计算：①、 ②、 ③、 ④、 ⑤、（济宁）计算： 【知识要点5】---实数的大小比较 【例7】比较下列每组两个实数的大小： ①、 ②、 ③、 ◆方法感悟：比较两个实数大小的方法： （1）逐位比较法； （2）平方比较法； （3）分子有理化比较法 ◆目标训练3 1、计算：； 2、比较大小：①、；②、；③、； 3、计算下列各题： （1） （2） （3） （4） 【创新运用与思维拓展】 【例8】（江西）实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ） 、 、 、 、 【例9】已知：，求的值； 【例10】已知，求的值； 【例11】观察下列算式： ①、；②、； ③、 ；你能得到什么规律？ 运用规律计算：（为正整数）。 作业（实数运算） 组----基础达标 1、若，则； 2、化简或计算： ①、 ②、 ③、 ④、 组---能力拓展 1、为实数，现规定一种新的运算： ，那么当 时，； 2、已知，则； 3、已知：，求的 7