高中数学《二面角练习课》教案设计.docVIP

二面角练习课? 教学目标 1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念； 2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力． 教学重点和难点 重点：使学生能够作出二面角的平面角； 难点：根据题目的条件，作出二面角的平面角． 教学设计过程 重温二面角的平面角的定义． 教师：二面角是怎样定义的？ 学生：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角． 教师：二面角的平面角是怎样定义的？ 学生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 教师：请同学们看下图． 如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征： （1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的； （2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直； （3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背影． 请看下面两道例题． 例1 ?已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小． 分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知， VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2） 特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3） 例2 ?矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值． 如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直． 由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角． 在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°， 从上面两例题，我们可以总结三种作二面角的平面角的一般方法 1．定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角（如例2）． 2．应用三垂线（逆）定理法：在二面角α—l—β的面α上取一点A，作AB⊥β于B，BC⊥l于C，则∠ACB即为α—l—β的平面角（如例1）． 课堂练习 1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值． C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1， 教师：有时二面角的棱在示意图中并未出现，在解题时须先将棱找出。 教师：请大家研究下面的两例题． 例3 ?如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值． 分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角． 略解：如图10． 在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1． 延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK， 则∠HKE为所求二面角的平面角． 在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值 例4 ?已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值． 分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线． 解：因为? AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD． 所以? AB∥平面CPD． 又? P∈平面APB，且P∈平面CPD， 因此? 平面APB∩平面CPD=l，且P∈l． 所以? 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角． 因为? AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l， 所以? AB∥l． 过P作PE⊥AB，PE⊥CD． 因为? l∥AB∥CD， 因此? PE⊥l，PF⊥l， 所以? ∠EPF是二面