高三数学必威体育精装版高考第二轮复习《高考填空题的解法》试题研究专题讲解.docVIP

高考填空题的解法 高考考点突破 例1．若数列中，，则 [分析] 本题是简单的数列递推问题，解题的关键是能否由已知条件找出另一个递推关系。 [解析] 解法1：由得：，两式相减得： ，所以，又，，故是首项为3，公比为的等比数列，，当时，，即。 解法2：，，即，又，，即是首项为1，公比为4 的等比数列，。 [启迪] 以上两种解法体现了对关系式的两种不同的处理方式，这是解决有关的递推数列的常用转化方法。本题两种解法中都要注意递推式中的适用范围，这也是此类问题最易出错的地方。 [变式训练] 1．已知数列满足，，其中，则数列的通项为 。 由可以转化为，则是以为首项，2 为公比的等比数列，故 2．设，则 利用等比数列求和公式：左边=，由恒等的意义知为的展开式中项的系数，故。 例2． 若直线与连接点A（-2，3）和点B（3，2）的线段有公共点，则的取值范围是 [分析] 本题是典型的一题多解填空题，涉及到求线段AB 与直线的交点，交点的横纵坐标都有范围，因此可求的取值范围。 [解析] 或 解法1：利用数形结合，如图，连结AC、BC。 由方程可知此直线恒过定点C（0，-2）。由A（-2，3）、B（3，2）可得，故的斜率应满足或，即或。 解法2：利用交点范围求解。由两点式求得AB直线的方程为， 解方程组，得。根据题意知，该点横坐标应满足，解之得或，即满足条件的实数的取值范围是或。 解法3：利用平面区域代数表示求解。由题意知，点A（-2，3）和点B（3，2）应在直线 的两侧或一点在此直线上，，解之得或。 [启迪] 三种解法是利用交点范围求解相对复杂，计算量大，而利用数形结合法和平面区域代数表示求解比较简单，但容易出错：在解法一中易犯两个错误，（1）是在确定 的范围时易出错，（2）是直线的斜率是则不是；在解法三中利用平面区域代数表示，容易忽略A、B在直线上这一条件。 [变式训练] 已知，则的最小值是 解：4。= =，问题转化为已知圆上的点到两定点A（-2，0）、B（2，0）距离之和的最小值，因为原点O在线段AB上，又在圆上，故原点O到A、B两点间的距离之和最小，即，此时，。 已知直线与曲线只有一个公共点，则实数的值为 解：。 联立方程组 当时，此方程组恰有一组解（1，0）； 当时，消去得， 若=0，即时，方程（*）为，所以方程组有一组解（-1，-1）； 若，即时，令，解之得，此时直线与抛物 线相切，只有一个公共点。 综上所述，当时，直线与曲线只有一个公共点。 例3．函数的最大值为 ，最小值为 。 [分析] 本题属于求无理函数的最值问题，最常规的方法是利用导数求解，但本题结构比较特殊，也可以构造向量，利用向量的数量积求解。 [解析] 最大值为50，最小值为30。 解法一：， 令解得。 的定义域为[-9，16]， 函数自变量、导函数和因变量的变化关系如下表： -9 （-9，7） 7 （7，16） 16 + 0 - 30 50 40 故函数的最大值为50，最小值为30。 解法2：构造向量求解。令，则。设，则，的终点落在以（0，0）为圆心，5为半径的第一象限的圆弧上（包括与轴，轴的交点），如图。 。 ，故函数的最大值为50，最小值为30。 [启迪] 导数是求函数最值问题最常用的方法，对于以下四类特殊函数可以采用构造法求解：（1）型无理函数，可以类比本题构造向量或圆锥曲线求解；（2）型无理函数，联系平面两点的距离公式，构造与距离相关的平面图形求解；（3）分式型函数可以联系斜率公式，构造与斜率相关的平面图形求解；（4）含型无理函数，联系三角公式，建立三角函数模型。 [变式训练] 1．已知为正常数，为正实数，且，则的最小值为 解：。 即的最小值为。 2．曲边梯形由曲线所围成，过曲线上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为 解：P（）。利用导数，将目标函数化为二次区间上的问题。设，，则切线方程为， P（）为所求点。 高考阅卷在线 (2009年四川卷)设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题： ①设是平面上的线性变换，则 ②对，则是平面上的线性变换； ③若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； ④设是平面上的线性变换，，若共线，则也共线。 其中真命题是 （写出