§10.6 空间直线及其方程.pptVIP

* * §6 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 空间直线 可以看作两个平面 和 的交线（如图），其一般方程为 显然， 上的点既在 上，又在 上， 故满足方程组(10-21)；反之，不在 上的点不可能既在 上，又在 上，故不满足方程组(10-21)。 二、空间直线的点向式方程与参数方程 若一非零向量 平行于一已知直线 ，则称 为 的方向向量。 由于过空间一点只能作一条直线平行于已知直线，所以 当过点 ，又与 平行时， 的位置就完全确定了 设点 是 上任一点，则 对应坐标成比例，即 显然 上任一点都满足该方程，不在 上的点不满足该方程。该方程称为 的点向式方程（亦称对称式方程）， 称为的方向向量。 设 则 该方程称为 的参数方程，称为 参数 例1 把直线 的一般方程 化为点向式方程和参数方程。 解 先找 上的一点 ，如取 则有 即 是 上一点。 的方向向量 故 的点向式方程为 参数方程为 三、两直线的夹角 两直线的夹角 是指两直线的方向向量的夹角（通常指锐角），设直线 和 的方向向量分别为 和 ，则 (10-24) 垂直的充要条件是： 平行的充要条件是： 例2 求两直线 和 间的夹角。 解 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线 与其在平面上的投影直线 所夹的角 （通常指锐角）称为直线与平面的夹角（如图10-41），当直线与平面垂直时，规定 。 设直线 的方向向量为 平面 的法向量为 ，直线 与法向量 的夹角为 ，则 直线与平面垂直的充要条件是： 直线与平面平行的充要条件是： 例3 求过点 且与平面 垂直的直线方程。 解 因所求直线 与平面 垂直，故 的法向量 为 的方向向量， 方程为 例4 求直线 与平面 的交点。 解 把变为参数式： 代入 的方程，得 再把 代入的参数式中得交点坐标为 例5 求过点 且与直线 垂直相交的直线方程。 解 的参数方程为： 先作过点 且垂直于 的平面 ： 再求 与 的交点：将 的参数方程代入 的方程，得 从而 交点的坐标为 直线与平面垂直的充要条件是： 故所求直线方程为 *