概率论第五章（第一讲）.pptVIP

武汉科技大学理学院 第五章 大数定律及中心极限定理第一次课 一、大数定律 二、中心极限定理 §1 大数定律 实践中，频率具有稳定性，大量测量值的算术平均值也具有稳定性，这种稳定性是大数定律研究的背景。 §2 中心极限定理 中心极限定理研究的是随机变量序列 一、概念 1.定义： 2.依概率收敛的性质 证明略. 二、大数定律 切比雪夫（Chebyshev)不等式 设随机变量X具有有限数学期望EX和方差DX，则 对于任意正数 ，如下不等式成立。 ——切比雪夫不等式 另一等价形式： ——切比雪夫不等式 回顾： 1.切比雪夫大数定理 由切比雪夫不等式可得 证明： 例: 已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均 值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每 毫升血液含白细胞数在5200~9400之间的概率。 解 设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则 则 而 所以 2.贝努里大数定理 证： 该大数定律说明：事件发生的频率 依概率收敛于该事件发生的概率。 3.辛钦大数定理 注意：与切比雪夫大数定律相比较，辛钦大数定律的条件去掉了“方差存在”，但增加了“服从同一分布”的要求。贝努里大数定理是辛钦大数定理的特殊情形。 例： 设 为独立同布随机变量序列, 均服从参 数为 的泊松分布,求证算术平均 。 因为 , 所以 由切比雪夫大数定理得: 所以 证明： 例: 设 是独立同分布的随机变量, 其分布函 数为 ,问是否适用辛钦 大数定理？ 解: 辛钦大数定律成立的条件是 独立同分布, 随机变量的数学期望存在。 而 故辛钦大数定律不适用。 一、独立同分布的中心极限定理（列维－林德贝格中心极限定理） 前n项的和 当n充分大时，是否近似于正态分布. ② ③ 具有相同分布； 具有相同的期望和方差: 证明略. 在应用时，当n充分大时，若 独立同分布，具有期望和方差，则 例：一加法器同时收到20个噪声电压Vk（ｋ＝1,2,…,20)，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0,10）上服从均匀分布。记 ，求 解： 因Vk独立同分布，由中心极限定理，随机变量 二、棣莫弗－拉普拉斯定理 证： 由独立同分布中心极限定理， 若 ，当n充分大时， 该定理说明： 例：一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪冲击纵摇角大于3°的概率为p＝1/3，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500～30500次纵摇角大于3°的概率是多少？ 解： 设在90000次波浪冲击中，纵摇角大于3°的次数为X，则 例: 一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变 量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm， 均方差是0.05mm，规定总长度为20±0.1mm时产品合 格，试求产品合格的概率。 解 设部件的总长度为X，每部分的长度为 Xi（i=1,2,…,10)，则 可知：X近似地服从正态分布 即 则产品合格的概率为 * *